哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
1．令 $F$ 为 $\displaystyle \varepsilon=\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}$ 的一切有理多项式的集合所构成的数域，则 $F$ 中元素的简约式为
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定ε的性质
由定义，$\varepsilon = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}$ 是5次单位根，满足 $\varepsilon^5 = 1$ 且 $\varepsilon \neq 1$。因此 $\varepsilon$ 是分圆多项式 $\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ 的根。
公式：$\varepsilon^5 = 1$, $\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
提示：注意区分5次单位根与1的5次根，ε是原根。
步骤 2/5
目标：证明极小多项式不可约
考虑多项式 $\Phi_5(x+1) = \frac{(x+1)^5-1}{x} = x^4 + 5x^3 + 10x^2 + 10x + 5$。由艾森斯坦判别法，取素数 $p=5$，除首项外系数均被5整除，常数项5不被 $5^2=25$ 整除，故 $\Phi_5(x+1)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，从而 $\Phi_5(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。因此 $\varepsilon$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式就是 $\Phi_5(x)$，次数为4。
公式：艾森斯坦判别法
提示：注意变换 $x \to y+1$ 后常数项为5，需检查是否被 $p^2$ 整除。
步骤 3/5
目标：确定扩域结构
由于 $\varepsilon$ 是代数元，且极小多项式次数为4，故 $\mathbb{Q}(\varepsilon)$ 是 $\mathbb{Q}$ 的4次扩域，且 $\mathbb{Q}[\varepsilon] = \mathbb{Q}(\varepsilon)$。因此 $F = \mathbb{Q}[\varepsilon] = \mathbb{Q}(\varepsilon)$。
公式：$[\mathbb{Q}(\varepsilon):\mathbb{Q}] = 4$
提示：代数元满足 $\mathbb{Q}[\alpha] = \mathbb{Q}(\alpha)$。
步骤 4/5
目标：确定基和简约形式
由于极小多项式次数为4，$\{1, \varepsilon, \varepsilon^2, \varepsilon^3\}$ 是 $\mathbb{Q}(\varepsilon)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的一组基。因此 $F$ 中任意元素可唯一表示为 $a + b\varepsilon + c\varepsilon^2 + d\varepsilon^3$，其中 $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$。这就是简约形式。
公式：基：$\{1, \varepsilon, \varepsilon^2, \varepsilon^3\}$
提示：注意次数不能超过3，因为 $\varepsilon^4 = -1-\varepsilon-\varepsilon^2-\varepsilon^3$。
步骤 5/5
目标：总结答案
因此，$F$ 中元素的简约式为 $a + b\varepsilon + c\varepsilon^2 + d\varepsilon^3$，其中 $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$。
提示：系数为有理数，不是整数。
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