哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
2．多项式 $x^{21}-1$ 和 $x^{14}-1$ 的最大公因式为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并确定公共根条件
设 $\omega$ 是 $x^{21}-1$ 和 $x^{14}-1$ 的公共根，则 $\omega^{21}=1$ 且 $\omega^{14}=1$。
提示：注意公共根必须同时满足两个方程。
步骤 2/6
目标：推导公共根满足的方程
由 $\omega^{21}=1$ 和 $\omega^{14}=1$，可得 $\omega^{21} = \omega^{14} \cdot \omega^{7}$，因此 $1 = 1 \cdot \omega^{7}$，即 $\omega^{7}=1$。所以公共根都是7次单位根。
公式：$\omega^{21} = \omega^{14} \cdot \omega^{7}$
提示：注意指数运算：$\omega^{21} = \omega^{14+7} = \omega^{14}\omega^{7}$。
步骤 3/6
目标：验证7次单位根都是公共根
若 $\omega^{7}=1$，则 $\omega^{21} = (\omega^{7})^{3} = 1$，$\omega^{14} = (\omega^{7})^{2} = 1$，所以所有7次单位根都是公共根。
公式：$(\omega^{7})^{k} = 1$ 对 $k=2,3$
提示：注意7次单位根共有7个不同的复数根。
步骤 4/6
目标：确定公因式形式
所有7次单位根都是公共根，因此 $x^{7}-1$ 是 $x^{21}-1$ 和 $x^{14}-1$ 的公因式。
公式：$x^{7}-1 = \prod_{k=0}^{6} (x - e^{2\pi i k/7})$
提示：注意 $x^{7}-1$ 是首一多项式。
步骤 5/6
目标：验证整除性
由于 $21=7\times3$，$14=7\times2$，有 $x^{21}-1 = (x^{7})^{3}-1$，$x^{14}-1 = (x^{7})^{2}-1$，根据因式分解公式 $a^{n}-1 = (a-1)(a^{n-1}+\cdots+1)$，可知 $x^{7}-1$ 整除两者。
公式：$a^{n}-1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1)$
提示：注意 $a$ 替换为 $x^{7}$。
步骤 6/6
目标：证明最大公因式就是 $x^{7}-1$
任何更高次数的公因式必须包含所有7次单位根，但 $x^{7}-1$ 已经是所有7次单位根的最小多项式（在有理数域上），且次数为7，因此最大公因式就是 $x^{7}-1$。
提示：注意 $x^{7}-1$ 在有理数域上不可约？实际上 $x^{7}-1$ 可分解为 $(x-1)\Phi_{7}(x)$，但这里最大公因式是 $x^{7}-1$ 本身。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。