哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
3．$n$ 阶行列式 $A_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|(n \geq 2)$ 的值为
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别行列式类型
该行列式主对角线元素均为2，次对角线元素均为-1，其余元素为0，是典型的n阶三对角行列式。设$D_n$表示n阶行列式的值。
提示：注意行列式的结构，主对角线和次对角线元素固定。
步骤 2/6
目标：按第一行展开建立递推关系
按第一行展开：$D_n = 2 \cdot D_{n-1} + (-1) \cdot (-1) \cdot M_{12}$，其中$M_{12}$是去掉第一行第二列后的余子式。计算$M_{12}$时，注意其第一列只有-1，且该余子式是下三角形式，实际上等于$(-1)^{1+1} \cdot (-1) \cdot D_{n-2}$，但更直接的方法：$D_n = 2D_{n-1} - (-1) \cdot (-1) D_{n-2} = 2D_{n-1} - D_{n-2}$。
公式：$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$
提示：展开时注意符号：$(-1)^{1+2} = -1$，且余子式$M_{12}$的符号为$(-1)^{1+2}$，但实际计算中，$M_{12}$本身是$n-1$阶行列式，且其第一列只有-1，按第一列展开可得$(-1) \cdot D_{n-2}$，因此整体贡献为$(-1) \cdot (-1) \cdot D_{n-2} = D_{n-2}$，但注意原展开式中$2D_{n-1}$的符号为正，而第二项为$(-1) \cdot M_{12}$，所以$D_n = 2D_{n-1} + (-1) \cdot M_{12}$，而$M_{12} = (-1) \cdot D_{n-2}$，故$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$。
步骤 3/6
目标：计算初始值
当$n=1$时，$D_1 = |2| = 2$。当$n=2$时，$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 4 - 1 = 3$。
提示：计算二阶行列式时注意交叉相乘再相减。
步骤 4/6
目标：求解递推关系
递推关系$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$是常系数线性齐次递推，特征方程为$r^2 - 2r + 1 = 0$，解得$r=1$（二重根）。因此通解形式为$D_n = (A + Bn) \cdot 1^n = A + Bn$。
公式：$r^2 - 2r + 1 = 0$，$D_n = A + Bn$
提示：特征方程有重根时，通解中要乘以n的幂次。
步骤 5/6
目标：代入初始条件确定系数
代入$n=1$：$A + B = 2$；代入$n=2$：$A + 2B = 3$。解方程组得$A=1$，$B=1$。因此$D_n = 1 + n$。
提示：注意初始条件对应的是$D_1$和$D_2$，不要用$D_0$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
所以$n$阶行列式的值为$A_n = n+1$。
公式：$A_n = n+1$
提示：结果简洁，注意验证$n=2$时得3，$n=3$时可计算验证。
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