哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
4．若 $P$ 为5阶正交阵，则 $\left|E-P^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用正交矩阵性质化简行列式
由于 $P$ 是5阶正交矩阵，满足 $P^T P = E$，且 $P$ 可逆。考虑 $|E - P^2|$。注意到 $E - P^2 = (E - P)(E + P)$，但直接计算较复杂。利用 $P^T P = E$，有 $E - P^2 = P^T P - P^2 = P^T (E - P) P$。因此 $|E - P^2| = |P^T| \cdot |E - P| \cdot |P| = |P|^2 \cdot |E - P|$。由于 $|P| = \pm 1$，所以 $|E - P^2| = |E - P|^2$。
公式：E - P^2 = P^T (E - P) P, \quad |E - P^2| = |E - P|^2
提示：注意 $P^T P = E$ 的使用，以及行列式乘法性质。
步骤 2/4
目标：分析正交矩阵的特征值性质
正交矩阵 $P$ 的特征值都是模为1的复数，且实特征值只能是 $\pm 1$，复特征值成对出现（共轭）。由于 $P$ 是5阶矩阵（奇数阶），它至少有一个实特征值。设 $P$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4, \lambda_5$，则 $E-P$ 的特征值为 $1-\lambda_i$，$|E-P| = \prod_{i=1}^5 (1-\lambda_i)$。
公式：|E-P| = \prod_{i=1}^5 (1-\lambda_i)
提示：奇数阶实矩阵必有实特征值，正交矩阵的特征值模为1。
步骤 3/4
目标：判断 $|E-P|$ 是否为零
由于 $P$ 有实特征值，设为 $\lambda$，则 $\lambda = \pm 1$。若 $\lambda = 1$，则 $1-\lambda = 0$，从而 $|E-P| = 0$；若 $\lambda = -1$，则 $1-(-1)=2 \neq 0$，但此时 $E+P$ 的特征值为 $1+\lambda = 0$，而 $E-P^2 = (E-P)(E+P)$，所以 $|E-P^2| = |E-P| \cdot |E+P|$。由于 $P$ 有特征值 $-1$，$E+P$ 有零特征值，故 $|E+P|=0$，从而 $|E-P^2|=0$。因此无论 $P$ 有特征值 $1$ 还是 $-1$，$|E-P^2|$ 均为0。
公式：E-P^2 = (E-P)(E+P)
提示：注意 $E-P$ 和 $E+P$ 可能同时非奇异？但奇数阶正交矩阵至少有一个实特征值，导致其中一个因子奇异。
步骤 4/4
目标：得出结论
综上，对于任意5阶正交矩阵 $P$，$|E-P^2| = 0$。因此答案为 $0$。
提示：无需计算具体特征值，利用奇偶性即可。
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