哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
5．在空间直角坐标系中，向量 $\alpha_{1}=\left(a_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{13}\right), \alpha_{2}=\left(a_{21}, \alpha_{22}, \alpha_{23}\right), \alpha_{3}=\left(a_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33}\right)$ 共面的充要条件是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解向量共面的定义
在空间直角坐标系中，三个向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 共面意味着它们位于同一个平面内。从几何上看，共面的向量可以通过平移使得起点重合，终点和起点共面。
提示：注意共面与线性相关的关系：三个向量共面当且仅当它们线性相关。
步骤 2/6
目标：转化为线性相关条件
向量共面的充要条件是它们线性相关，即存在不全为零的实数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = \mathbf{0}$。
公式：$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = \mathbf{0}$，且 $k_1, k_2, k_3$ 不全为0
提示：线性相关意味着至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。
步骤 3/6
目标：写出线性相关对应的齐次线性方程组
将向量坐标代入，得到方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11} k_1 + a_{21} k_2 + a_{31} k_3 = 0 \\
a_{12} k_1 + a_{22} k_2 + a_{32} k_3 = 0 \\
a_{13} k_1 + a_{23} k_2 + a_{33} k_3 = 0
\end{cases}
$$
该方程组有非零解当且仅当系数矩阵的行列式为零。
提示：注意系数矩阵的行与列对应关系：矩阵的行对应向量的分量，列对应不同的向量。
步骤 4/6
目标：引入行列式条件
齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式等于0。因此，向量共面的充要条件是：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{vmatrix} = 0.
$$
注意，这里行列式的行是向量的分量，列是向量。
公式：$\det(A) = 0$，其中 $A$ 是以向量为列构成的矩阵
提示：行列式为零是线性相关的代数刻画，但注意矩阵的构造方式：通常将向量作为列向量组成矩阵。
步骤 5/6
目标：调整行列式形式为常见形式
题目中给出的向量表示为 $\alpha_i = (a_{i1}, a_{i2}, a_{i3})$，即第一个下标表示向量序号，第二个下标表示分量。因此，以向量为行构造矩阵更自然：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} = 0.
$$
由于行列式转置值不变，这与列向量矩阵的行列式为零等价。
公式：$\det(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = 0$，其中向量按行排列
提示：注意转置不改变行列式的值，所以行向量组和列向量组的行列式条件相同。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
因此，三个向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 共面的充要条件是由它们的坐标构成的三阶行列式等于零。
公式：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = 0$$
提示：不要忘记行列式为零是充要条件，但前提是向量非零？实际上零向量与任何向量共面，但行列式为零也包含这种情况。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。