哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $S=\left(\begin{array}{cc}0 & E_{2} \\ -E_{2} & 0\end{array}\right), V=\left\{X \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \mid S X+X^{T} S=0\right\}$ ，则 $V$ 作为数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分块表示矩阵X和S
设 $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，其中 $A, B, C, D \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$。已知 $S = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $I_2$ 是 $2 \times 2$ 单位矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度一致性，每个子块都是2×2矩阵。
步骤 2/7
目标：代入条件并计算矩阵乘积
条件 $S X + X^T S = 0$ 代入分块形式：
$$
\begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix} = 0.
$$
计算第一项：$\begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C & D \\ -A & -B \end{pmatrix}$。
计算第二项：$\begin{pmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C^T & A^T \\ -D^T & B^T \end{pmatrix}$。
公式：分块矩阵乘法规则
提示：注意矩阵乘法的顺序，第二项中 $X^T$ 的转置要正确。
步骤 3/7
目标：合并矩阵方程
将两项相加得：
$$
\begin{pmatrix} C & D \\ -A & -B \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -C^T & A^T \\ -D^T & B^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C - C^T & D + A^T \\ -A - D^T & -B + B^T \end{pmatrix} = 0.
$$
提示：矩阵相加是对应元素相加，注意零矩阵的每个子块都是零矩阵。
步骤 4/7
目标：推导子块条件
由矩阵为零得到四个子块方程：
1. $C - C^T = 0$，即 $C$ 是对称矩阵。
2. $D + A^T = 0$，即 $D = -A^T$。
3. $-A - D^T = 0$，即 $A = -D^T$，与方程2等价。
4. $-B + B^T = 0$，即 $B$ 是对称矩阵。
提示：注意方程3是方程2的转置，因此不独立。
步骤 5/7
目标：写出X的一般形式
由条件得 $X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & -A^T \end{pmatrix}$，其中 $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 任意，$B, C \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 且对称。
提示：注意 $D$ 由 $A$ 确定，不是自由参数。
步骤 6/7
目标：计算自由参数个数
$A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，有 $4$ 个独立元素。$B$ 是对称矩阵，有 $3$ 个独立元素（主对角两个，上三角一个）。$C$ 也是对称矩阵，有 $3$ 个独立元素。总自由参数个数为 $4+3+3=10$。
公式：对称矩阵的自由度：$n(n+1)/2$
提示：不要忘记 $A$ 是任意矩阵，不是对称的，所以有4个自由度。
步骤 7/7
目标：得出维数
线性空间 $V$ 的维数等于自由参数的个数，因此 $\dim V = 10$。
提示：维数就是基向量的个数，即自由参数个数。
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