哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，则矩阵方程 $A X=B$ 有解的充分必要条件为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与符号
设 $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$，求矩阵方程 $AX = B$ 有解的充要条件。注意 $X \in \mathbb{R}^{n \times n}$。
提示：明确矩阵维度，$A$ 和 $B$ 同型，$X$ 为方阵。
步骤 2/6
目标：将矩阵方程转化为向量方程组
将 $X$ 和 $B$ 按列分块：$X = [x_1, x_2, \dots, x_n]$，$B = [b_1, b_2, \dots, b_n]$，其中 $x_j \in \mathbb{R}^n$，$b_j \in \mathbb{R}^m$。则 $AX = B$ 等价于 $A x_j = b_j$ 对 $j=1,\dots,n$ 同时成立。
公式：$A x_j = b_j$
提示：注意分块后每个列向量方程独立。
步骤 3/6
目标：单个向量方程有解的条件
对于每个 $j$，方程 $A x_j = b_j$ 有解当且仅当 $b_j$ 属于 $A$ 的列空间，即 $b_j \in \operatorname{col}(A)$。这是因为 $A$ 的列空间是所有形如 $A y$ 的向量的集合。
公式：$b_j \in \operatorname{col}(A)$
提示：列空间的定义：$\operatorname{col}(A) = \{ A y : y \in \mathbb{R}^n \}$。
步骤 4/6
目标：所有列向量方程同时有解的条件
由于 $j$ 从 $1$ 到 $n$，所有 $b_j$ 都必须属于 $\operatorname{col}(A)$，即 $B$ 的每一列都在 $A$ 的列空间中。这等价于 $B$ 的列空间包含于 $A$ 的列空间：$\operatorname{col}(B) \subseteq \operatorname{col}(A)$。
公式：$\operatorname{col}(B) \subseteq \operatorname{col}(A)$
提示：列空间是子空间，包含关系意味着每个 $b_j$ 可被 $A$ 的列线性表示。
步骤 5/6
目标：用秩表示包含关系
考虑增广矩阵 $[A \mid B]$，其列空间为 $\operatorname{col}(A) + \operatorname{col}(B)$。由于 $\operatorname{col}(B) \subseteq \operatorname{col}(A)$，有 $\operatorname{col}([A \mid B]) = \operatorname{col}(A)$，因此秩相等：$\operatorname{rank}([A \mid B]) = \operatorname{rank}(A)$。反之，若秩相等，则 $\operatorname{col}([A \mid B]) = \operatorname{col}(A)$，从而 $\operatorname{col}(B) \subseteq \operatorname{col}(A)$。
公式：$\operatorname{rank}([A \mid B]) = \operatorname{rank}(A)$
提示：秩相等是充要条件，注意 $[A \mid B]$ 是 $m \times 2n$ 矩阵。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
因此，矩阵方程 $AX = B$ 有解的充分必要条件是 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid B])$，或等价地 $\operatorname{col}(B) \subseteq \operatorname{col}(A)$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid B])$
提示：这是线性方程组理论的推广，注意与 $Ax=b$ 有解的条件一致。
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