哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
8．若 3 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 的特征值为 $1,2,3$ ，则 $\sum_{i=1}^{3}\left(\sum_{i=1}^{3} a_{i j} a_{j i}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别所求表达式的含义
所求表达式为 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij} a_{ji}$。注意到 $(A^2)_{ii} = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} a_{ji}$，因此 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij} a_{ji} = \operatorname{tr}(A^2)$，即矩阵 $A^2$ 的迹。
公式：$(A^2)_{ii} = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} a_{ji}$，$\operatorname{tr}(A^2) = \sum_{i=1}^{3} (A^2)_{ii}$
提示：注意求和顺序：先对 $j$ 求和得到 $A^2$ 的对角元，再对 $i$ 求和得到迹。
步骤 2/3
目标：利用特征值计算迹
已知 $A$ 的特征值为 $1,2,3$。对于任意多项式 $p$，$p(A)$ 的特征值为 $p(\lambda)$。取 $p(x)=x^2$，则 $A^2$ 的特征值为 $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9$。矩阵的迹等于其特征值之和，故 $\operatorname{tr}(A^2)=1+4+9=14$。
公式：$\operatorname{tr}(A^2) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^2$
提示：特征值的平方是 $A^2$ 的特征值，但前提是 $A$ 可对角化或特征值有重根时需注意，但本题特征值互异，直接成立。
步骤 3/3
目标：得出最终结果
因此，$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij} a_{ji} = \operatorname{tr}(A^2) = 14$。
提示：注意不要混淆 $\operatorname{tr}(AA^T)$ 与 $\operatorname{tr}(A^2)$，前者是各元素平方和，后者是本题所求。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。