哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
9．令 $A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}, A^{3}=E, 1=5-r(E-A)$ ，则 $\operatorname{tr}\left(E+A+A^{2}\right)$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知 $A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}$, $A^3 = E$, 且 $1 = 5 - r(E - A)$, 即 $r(E - A) = 4$。
提示：注意秩条件 $r(E-A)=4$ 意味着 $E-A$ 的零空间维数为1，即特征值1的几何重数为1。
步骤 2/7
目标：确定特征值可能取值
由 $A^3 = E$ 知 $A$ 的极小多项式整除 $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$，因此 $A$ 的特征值只能是 $1$, $\omega$, $\omega^2$，其中 $\omega = e^{2\pi i/3}$。
公式：$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$
提示：注意 $\omega$ 是三次单位根，满足 $\omega^3=1$, $\omega \neq 1$, $1+\omega+\omega^2=0$。
步骤 3/7
目标：确定特征值1的重数
由于 $r(E-A)=4$，所以 $\dim \ker(E-A)=5-4=1$，即特征值1的几何重数为1。又因为 $A$ 可对角化（极小多项式无重根），所以代数重数等于几何重数，故特征值1的代数重数为1。
公式：$\dim \ker(E-A) = 5 - r(E-A)$
提示：可对角化的条件是极小多项式无重根，这里 $x^3-1$ 无重根，所以 $A$ 可对角化。
步骤 4/7
目标：设特征值重数
设特征值 $\omega$ 的重数为 $a$，$\omega^2$ 的重数为 $b$，则 $1 + a + b = 5$，即 $a+b=4$。
提示：注意特征值总重数等于矩阵阶数5。
步骤 5/7
目标：计算迹的表达式
计算 $\operatorname{tr}(E+A+A^2) = \operatorname{tr}(E) + \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(A^2)$。其中 $\operatorname{tr}(E)=5$，$\operatorname{tr}(A)=1\cdot1 + \omega a + \omega^2 b$，$\operatorname{tr}(A^2)=1^2\cdot1 + \omega^2 a + \omega b$（因为 $\omega^2$ 的平方是 $\omega$，且 $\omega^3=1$）。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i$, $\operatorname{tr}(A^2) = \sum \lambda_i^2$
提示：注意 $A^2$ 的特征值是 $A$ 特征值的平方。
步骤 6/7
目标：化简迹
代入得 $\operatorname{tr}(E+A+A^2) = 5 + (1+\omega a+\omega^2 b) + (1+\omega^2 a+\omega b) = 7 + (\omega+\omega^2)a + (\omega^2+\omega)b = 7 - a - b$，因为 $\omega+\omega^2 = -1$。
公式：$1+\omega+\omega^2=0$ 即 $\omega+\omega^2=-1$
提示：注意合并同类项时不要漏项。
步骤 7/7
目标：代入数值得到结果
由 $a+b=4$，得 $\operatorname{tr}(E+A+A^2) = 7 - 4 = 3$。
提示：最终结果是一个整数。
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