哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题

已知 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的有限维线性空间，$\alpha, \beta$ 是 $V$ 上的可对角化线性变换，且满足 $\alpha\beta = \beta\alpha$。需要证明 $\alpha$ 和 $\beta$ 可同时对角化，即存在 $V$ 的一组基，使得 $\alpha$ 和 $\beta$ 在该基下的矩阵都是对角矩阵。

由于 $\alpha$ 可对角化，设 $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ 是 $\alpha$ 的所有不同特征值，对应的特征子空间为 $V_{\lambda_i} = \{ v \in V \mid \alpha(v) = \lambda_i v \}$。则 $V = \bigoplus_{i=1}^k V_{\lambda_i}$，即 $V$ 可分解为特征子空间的直和。

任取 $v \in V_{\lambda_i}$，由 $\alpha\beta = \beta\alpha$ 得 $\alpha(\beta(v)) = \beta(\alpha(v)) = \beta(\lambda_i v) = \lambda_i \beta(v)$，所以 $\beta(v) \in V_{\lambda_i}$。因此 $\beta$ 限制在每个 $V_{\lambda_i}$ 上是一个线性变换 $\beta|_{V_{\lambda_i}} : V_{\lambda_i} \to V_{\lambda_i}$，即 $V_{\lambda_i}$ 是 $\beta$-不变子空间。

由于 $\beta$ 在 $V$ 上可对角化，且 $V_{\lambda_i}$ 是 $\beta$-不变子空间，则 $\beta|_{V_{\lambda_i}}$ 也可对角化。这是因为可对角化线性变换的不变子空间限制仍可对角化（等价于极小多项式无重根，且不变子空间上的极小多项式整除原极小多项式，故也无重根）。

对每个 $i=1,\dots,k$，由于 $\beta|_{V_{\lambda_i}}$ 可对角化，存在 $V_{\lambda_i}$ 的一组基，使得 $\beta|_{V_{\lambda_i}}$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

将每个 $V_{\lambda_i}$ 的这样一组基合并，得到 $V$ 的一组基（因为 $V = \bigoplus_{i=1}^k V_{\lambda_i}$）。在这组基下，$\alpha$ 的矩阵是对角矩阵（因为每个基向量属于某个特征子空间，$\alpha$ 作用为乘以对应特征值），而 $\beta$ 的矩阵也是对角矩阵（因为每个 $V_{\lambda_i}$ 内 $\beta$ 的矩阵是对角矩阵，且不同特征子空间的基向量在 $\beta$ 下仍落在各自子空间内，所以整个矩阵是分块对角，每块对角，故整体对角）。

因此，$\alpha$ 和 $\beta$ 可同时对角化。