哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
1．求证 $V$ 为 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的子空间，并求 $\operatorname{dim} V$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义集合V
设 $V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A^T = A \}$，即所有 $n$ 阶实对称矩阵的集合。
提示：注意对称矩阵的定义是转置等于自身。
步骤 2/7
目标：验证零矩阵属于V
零矩阵 $O$ 满足 $O^T = O$，故 $O \in V$。
提示：零矩阵是任何子空间的必要条件。
步骤 3/7
目标：验证加法封闭性
对任意 $A, B \in V$，有 $(A+B)^T = A^T + B^T = A + B$，故 $A+B \in V$。
公式：$(A+B)^T = A^T + B^T$
提示：转置运算对加法满足分配律。
步骤 4/7
目标：验证数乘封闭性
对任意 $A \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，有 $(kA)^T = kA^T = kA$，故 $kA \in V$。
公式：$(kA)^T = kA^T$
提示：转置运算与数乘可交换。
步骤 5/7
目标：结论：V是子空间
由以上三条，$V$ 是 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的子空间。
提示：子空间判定需验证三个条件：零元、加法封闭、数乘封闭。
步骤 6/7
目标：确定独立元素个数
实对称矩阵 $A = (a_{ij})$ 满足 $a_{ij} = a_{ji}$，因此独立元素包括：主对角线上 $n$ 个元素 $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$；上三角部分（不含对角线）有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素 $a_{ij}$（$i < j$）。总独立元素个数为 $n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$。
公式：$n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意对称性导致下三角元素由对应上三角元素决定，不独立。
步骤 7/7
目标：得出维数
因此 $\dim V = \frac{n(n+1)}{2}$。
提示：维数等于独立基向量的个数。
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