哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
2．求证： $\mathbb{R}^{n \times n}=V \oplus W$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义子空间V和W
设 $V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A^T = A \}$ 为对称矩阵子空间，$W = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A^T = -A \}$ 为反对称矩阵子空间。
提示：注意对称矩阵和反对称矩阵的定义，转置性质要牢记。
步骤 2/5
目标：证明和空间包含所有矩阵
对任意 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，令 $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$，$C = \frac{1}{2}(A - A^T)$。则 $B^T = B$，$C^T = -C$，且 $A = B + C$，故 $\mathbb{R}^{n \times n} \subseteq V + W$。
公式：$B = \frac{1}{2}(A + A^T)$, $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$
提示：注意验证B和C分别属于V和W，且和等于A。
步骤 3/5
目标：证明和空间等于全空间
由于 $V \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$ 且 $W \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$，显然 $V + W \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$。结合上一步，得 $\mathbb{R}^{n \times n} = V + W$。
提示：包含关系要双向证明。
步骤 4/5
目标：证明交空间只含零矩阵
若 $A \in V \cap W$，则 $A^T = A$ 且 $A^T = -A$，故 $A = -A$，即 $2A = 0$，所以 $A = 0$。因此 $V \cap W = \{0\}$。
提示：注意零矩阵是唯一的既对称又反对称的矩阵。
步骤 5/5
目标：得出直和结论
由 $\mathbb{R}^{n \times n} = V + W$ 且 $V \cap W = \{0\}$，根据直和的定义，得 $\mathbb{R}^{n \times n} = V \oplus W$。
提示：直和需要满足和空间与交空间为零两个条件。
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