哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
三、设 $\displaystyle V=\left\{A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(\mathcal{A})=0\right\}, W=\{a E \mid a \in \mathbb{R}\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明V是子空间
首先，零矩阵的迹为0，故$0 \in V$。对任意$A, B \in V$，有$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B=0$，故$A+B \in V$。对任意$k \in \mathbb{R}$，$\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}A=0$，故$kA \in V$。因此$V$是$\mathbb{R}^{n \times n}$的子空间。
公式：$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B$，$\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}A$
提示：注意验证零矩阵是否属于V，以及加法和数乘封闭性。
步骤 2/7
目标：证明W是子空间
零矩阵$0=0\cdot E \in W$。对任意$aE, bE \in W$，有$aE+bE=(a+b)E \in W$。对任意$k \in \mathbb{R}$，$k(aE)=(ka)E \in W$。因此$W$是$\mathbb{R}^{n \times n}$的子空间。
提示：注意纯量矩阵的形式，验证加法与数乘封闭性。
步骤 3/7
目标：求V的维数
$\mathbb{R}^{n \times n}$的维数为$n^2$。线性映射$\operatorname{tr}: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}$是满射（因为$\operatorname{tr}(E)=n \neq 0$），其核为$V$。由维数定理，$\dim V = \dim \mathbb{R}^{n \times n} - \dim \operatorname{Im}\operatorname{tr} = n^2 - 1$。
公式：$\dim \ker T + \dim \operatorname{Im} T = \dim V$
提示：注意迹映射是线性映射，且满射性需验证。
步骤 4/7
目标：求W的维数
$W$由$E$张成，且$E \neq 0$，故$\dim W = 1$。
提示：注意$E$是单位矩阵，非零。
步骤 5/7
目标：证明V∩W={0}
若$aE \in V$，则$\operatorname{tr}(aE)=a n = 0$，故$a=0$，所以$aE=0$。因此$V \cap W = \{0\}$。
公式：$\operatorname{tr}(aE)=a \cdot n$
提示：注意迹的线性性质。
步骤 6/7
目标：证明V+W=R^{n×n}
对任意$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，令$a = \frac{\operatorname{tr}A}{n}$，则$A = (A - aE) + aE$。由于$\operatorname{tr}(A - aE) = \operatorname{tr}A - a n = 0$，故$A - aE \in V$，而$aE \in W$。因此$\mathbb{R}^{n \times n} = V + W$。
公式：$a = \frac{\operatorname{tr}A}{n}$
提示：注意分解的唯一性由直和保证，此处仅需证明和成立。
步骤 7/7
目标：由维数公式得直和
由维数公式，$\dim(V+W) = \dim V + \dim W - \dim(V \cap W) = (n^2-1)+1-0 = n^2$，故$V+W = \mathbb{R}^{n \times n}$。因此$\mathbb{R}^{n \times n} = V \oplus W$。
公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$
提示：注意直和的条件：和等于全空间且交为零。
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