哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题

题目要求计算线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵。但题目未给出 $\sigma$ 的具体定义以及基向量的具体坐标，因此无法进行具体计算。通常，我们需要知道 $\sigma$ 在每个基向量上的作用结果，即 $\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \sigma(\alpha_3)$，然后将这些结果用基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，系数构成的矩阵即为所求。

由于题目信息不完整，我们需要补充条件。例如，假设 $\sigma$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的线性变换，且已知 $\sigma$ 在标准基下的矩阵，或者已知 $\sigma$ 对某些向量的作用。基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 也需要具体给出。例如，设 $\alpha_1 = (1,0,0)^T, \alpha_2 = (1,1,0)^T, \alpha_3 = (1,1,1)^T$，且 $\sigma$ 在标准基下的矩阵为 $M$。

设标准基为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$，则基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到标准基的过渡矩阵 $P$ 满足 $[\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = [\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3] P$。例如，若 $\alpha_1=(1,0,0)^T, \alpha_2=(1,1,0)^T, \alpha_3=(1,1,1)^T$，则 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

若 $\sigma$ 在标准基下的矩阵为 $A$，则在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵 $B$ 满足 $B = P^{-1} A P$。因此需要计算 $P^{-1}$。例如，对于上述 $P$，其逆矩阵为 $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

假设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，则计算 $B = P^{-1} A P$。先计算 $A P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，再左乘 $P^{-1}$ 得 $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。

检查 $B$ 是否满足 $\sigma(\alpha_j) = \sum_i b_{ij} \alpha_i$。例如，$\sigma(\alpha_1)$ 在标准基下为 $A \alpha_1 = (1,0,0)^T$，而 $\alpha_1$ 本身，所以 $\sigma(\alpha_1) = \alpha_1$，对应 $B$ 的第一列 $(1,0,0)^T$，正确。类似可验证其他列。