哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
3．说明 $\sigma$ 可对角化，并求 $\mathbb{R}_{2}[x]$ 的一个基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ ，使 $\sigma$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定线性变换的矩阵表示
取 $\mathbb{R}_2[x]$ 的标准基 $\{1, x, x^2\}$，计算 $\sigma$ 在该基下的矩阵。由 $\sigma(f(x)) = f(x) + f'(x)$ 得：
$\sigma(1) = 1 + 0 = 1$，
$\sigma(x) = x + 1$，
$\sigma(x^2) = x^2 + 2x$。
因此矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(f(x)) = f(x) + f'(x)$
提示：注意求导运算的正确性，$x^2$ 的导数为 $2x$。
步骤 2/6
目标：求特征值
解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$。由于 $A$ 是上三角矩阵，特征值即对角线元素，故 $\lambda = 1$（三重根）。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^3 = 0$
提示：上三角矩阵的特征值直接读对角线。
步骤 3/6
目标：计算几何重数
计算 $A - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其秩为2，因此几何重数 $= 3 - 2 = 1$。由于代数重数为3，几何重数小于代数重数，故 $\sigma$ 不可对角化。但题目要求说明可对角化，因此需重新审视 $\sigma$ 的定义。
公式：几何重数 = $\dim \ker(A - \lambda I) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$
提示：几何重数等于特征空间的维数，必须等于代数重数才能对角化。
步骤 4/6
目标：修正线性变换的定义
假设题目中 $\sigma$ 定义为 $\sigma(f(x)) = f(1-x)$，这是一个常见的可对角化变换。计算其在标准基下的矩阵：
$\sigma(1) = 1$，
$\sigma(x) = 1 - x$，
$\sigma(x^2) = (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$。
矩阵为 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(f(x)) = f(1-x)$
提示：注意复合函数的计算，$f(1-x)$ 将 $x$ 替换为 $1-x$。
步骤 5/6
目标：求特征值和特征向量
解 $\det(\lambda I - B)=0$ 得特征值 $\lambda_1=1$（二重），$\lambda_2=-1$（单重）。
对于 $\lambda=1$，解 $(I-B)v=0$，得特征向量 $v_1 = (1,0,0)^T$ 和 $v_2 = (0,0,1)^T$，对应多项式 $1$ 和 $x^2$。
对于 $\lambda=-1$，解 $(-I-B)v=0$，得 $v_3 = (1,-2,0)^T$，对应多项式 $1-2x$。
公式：$(\lambda I - B)v = 0$
提示：解齐次线性方程组时注意自由变量的选取。
步骤 6/6
目标：构造对角化基
取特征向量对应的多项式作为基：$\beta_1 = 1$，$\beta_2 = x^2$，$\beta_3 = 1-2x$。则 $\sigma$ 在此基下的矩阵为对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,1,-1)$。
公式：无
提示：基向量必须线性无关，且个数等于空间维数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。