哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
五、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ \vdots \\ a_{m}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，求证：线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件为行向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle b_{1}, \ldots b_{m}$ 等价。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证结论
已知 $A=\begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其中 $a_i, b_i$ 是行向量。要证明：线性方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解的充分必要条件是行向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 与 $\beta_1,\dots,\beta_m$ 等价。
提示：注意 $A$ 和 $B$ 是 $m \times n$ 矩阵，行向量是 $1 \times n$ 行向量。
步骤 2/5
目标：必要性：从同解推出行向量组等价
假设 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解，记解空间为 $S = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax=0 \} = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Bx=0 \}$。则 $S$ 的正交补 $S^\perp$ 等于 $A$ 的行空间 $\operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$，也等于 $B$ 的行空间 $\operatorname{span}\{\beta_1,\dots,\beta_m\}$。因此两个行空间相等，即行向量组等价。
公式：$S^\perp = \operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\} = \operatorname{span}\{\beta_1,\dots,\beta_m\}$
提示：注意正交补的概念：解空间的正交补等于行空间。
步骤 3/5
目标：充分性：从行向量组等价推出同解
假设行向量组等价，即每个 $\alpha_i$ 可由 $\beta_1,\dots,\beta_m$ 线性表示，每个 $\beta_j$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性表示。则存在系数矩阵 $P, Q$ 使得 $A = PB$ 且 $B = QA$。
公式：$A = PB$, $B = QA$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是 $m \times m$ 矩阵，但这里只需知道存在性。
步骤 4/5
目标：充分性：证明解集包含关系
对任意 $x$，若 $Bx=0$，则 $Ax = P(Bx) = P0 = 0$，所以 $x$ 满足 $Ax=0$。反之，若 $Ax=0$，则 $Bx = Q(Ax) = Q0 = 0$，所以 $x$ 满足 $Bx=0$。因此 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解。
提示：注意线性表示关系可以写成矩阵乘法形式。
步骤 5/5
目标：总结结论
必要性：同解 $\Rightarrow$ 行空间相等 $\Rightarrow$ 行向量组等价。充分性：行向量组等价 $\Rightarrow$ 解集相同 $\Rightarrow$ 同解。因此命题得证。
提示：注意等价关系需要双向证明。
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