哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $\displaystyle f(x, y)$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$U$ 为 $V$ 的子空间， $\displaystyle U^{\perp}=\{v \in V \mid f(u, v)=0, \forall u \in U\}$ ，若 $\displaystyle U \bigcap U^{\perp}=\{0\}$ ，求证：$\displaystyle V=U \oplus U^{\perp}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知 $f(x,y)$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$U$ 是 $V$ 的子空间，定义 $U^{\perp} = \{ v \in V \mid f(u,v)=0, \forall u \in U \}$，且 $U \cap U^{\perp} = \{0\}$。需要证明 $V = U \oplus U^{\perp}$，即 $V = U + U^{\perp}$ 且和是直和。
提示：注意 $U^{\perp}$ 是子空间，且直和需要满足 $U \cap U^{\perp} = \{0\}$，此条件已给，只需证明 $V = U + U^{\perp}$。
步骤 2/6
目标：证明 $f$ 在 $U$ 上的限制非退化
假设存在非零 $u \in U$ 使得对所有 $u' \in U$ 有 $f(u, u') = 0$，则 $u \in U^{\perp}$，从而 $u \in U \cap U^{\perp} = \{0\}$，矛盾。因此对任意非零 $u \in U$，存在 $u' \in U$ 使得 $f(u, u') \neq 0$，即 $f|_U$ 非退化。
提示：非退化的定义：对任意非零 $u$，存在 $v$ 使得 $f(u,v) \neq 0$。这里 $v$ 取自 $U$。
步骤 3/6
目标：取 $U$ 的一组基并考虑度量矩阵
设 $\dim U = r$，取 $U$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$。由于 $f|_U$ 非退化，其度量矩阵 $A = (f(\alpha_i, \alpha_j))$ 是可逆的。
公式：$A = (f(\alpha_i, \alpha_j))_{r \times r}$
提示：度量矩阵可逆等价于双线性形式非退化。
步骤 4/6
目标：对任意 $v \in V$，定义线性函数并利用非退化性
对任意 $v \in V$，定义线性函数 $g: U \to F$ 为 $g(u) = f(u, v)$。由于 $f|_U$ 非退化，存在唯一的 $u_0 \in U$ 使得 $g(u) = f(u, u_0)$ 对所有 $u \in U$ 成立（这是由非退化双线性形式诱导的线性同构）。
公式：$f(u, v) = f(u, u_0), \forall u \in U$
提示：非退化双线性形式给出 $U$ 到其对偶空间的同构，因此存在唯一的 $u_0$ 表示线性函数。
步骤 5/6
目标：构造 $v$ 的分解
由 $f(u, v) = f(u, u_0)$ 得 $f(u, v - u_0) = 0$ 对所有 $u \in U$ 成立，因此 $v - u_0 \in U^{\perp}$。令 $w = v - u_0$，则 $v = u_0 + w$，其中 $u_0 \in U$，$w \in U^{\perp}$。
公式：$v = u_0 + w, u_0 \in U, w \in U^{\perp}$
提示：注意 $u_0$ 依赖于 $v$，且唯一性由非退化保证。
步骤 6/6
目标：证明直和
由上述分解，任意 $v \in V$ 可表示为 $U$ 和 $U^{\perp}$ 中元素之和，故 $V = U + U^{\perp}$。又已知 $U \cap U^{\perp} = \{0\}$，因此 $V = U \oplus U^{\perp}$。
提示：直和需要和是直和，即交为零，已给条件。
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