哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
六、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实对称矩阵，定义 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, X \rightarrow A X A^{T}$ ，求证 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的可角化线性变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义线性变换并明确条件
设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实对称矩阵，则 $A^T = A$。定义线性变换 $\phi_A: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}^{n \times n}$，$\phi_A(X) = A X A^T = A X A$。需要证明 $\phi_A$ 是可对角化的线性变换。
公式：$\phi_A(X) = A X A$
提示：注意 $A$ 是实对称矩阵，因此 $A^T = A$，简化表达式。
步骤 2/6
目标：将矩阵空间视为内积空间
在 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 上定义内积 $\langle X, Y \rangle = \operatorname{tr}(X^T Y)$，则 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 成为欧几里得空间（有限维实内积空间）。
公式：$\langle X, Y \rangle = \operatorname{tr}(X^T Y)$
提示：内积的正定性、对称性和线性性需要验证，但此处直接使用标准结果。
步骤 3/6
目标：证明 $\phi_A$ 是自伴算子
对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n \times n}$，计算 $\langle \phi_A(X), Y \rangle = \operatorname{tr}((A X A)^T Y) = \operatorname{tr}(A^T X^T A^T Y) = \operatorname{tr}(A X^T A Y)$（因为 $A^T = A$）。另一方面，$\langle X, \phi_A(Y) \rangle = \operatorname{tr}(X^T (A Y A)) = \operatorname{tr}(X^T A Y A) = \operatorname{tr}(A X^T A Y)$（利用迹的循环性质 $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(CAB) = \operatorname{tr}(BCA)$）。因此 $\langle \phi_A(X), Y \rangle = \langle X, \phi_A(Y) \rangle$，故 $\phi_A$ 是自伴算子。
公式：$\langle \phi_A(X), Y \rangle = \operatorname{tr}(A X^T A Y) = \langle X, \phi_A(Y) \rangle$
提示：迹的循环性质是关键，注意矩阵乘法顺序。
步骤 4/6
目标：应用自伴算子可对角化定理
在有限维欧几里得空间中，自伴算子（实对称算子）一定可对角化，即存在一组标准正交基使得其矩阵为实对角矩阵。由于 $\phi_A$ 是自伴算子，因此 $\phi_A$ 可对角化。
提示：自伴算子可对角化是线性代数中的标准结论，需要确认空间是有限维实内积空间。
步骤 5/6
目标：（可选）构造对角化基以加深理解
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。定义线性变换 $\psi: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}^{n \times n}$，$\psi(X) = Q^T X Q$，则 $\psi$ 是正交变换（保持内积）。那么 $\phi_A$ 与 $\psi^{-1} \circ \phi_\Lambda \circ \psi$ 相似，其中 $\phi_\Lambda(X) = \Lambda X \Lambda$。而 $\phi_\Lambda$ 在标准基 $E_{ij}$（第 $i$ 行第 $j$ 列为1，其余为0）下的矩阵是对角矩阵，因为 $\phi_\Lambda(E_{ij}) = \lambda_i \lambda_j E_{ij}$。因此 $\phi_A$ 可对角化。
公式：$\phi_\Lambda(E_{ij}) = \lambda_i \lambda_j E_{ij}$
提示：此步骤不是必需的，但有助于具体理解对角化过程。注意 $\psi$ 是正交变换，因此相似变换保持可对角化性。
步骤 6/6
目标：得出结论
综上，$\phi_A$ 是线性空间 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 上的可对角化线性变换。
提示：结论明确，注意题目要求证明可对角化，而非具体对角化。
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