哈尔滨工程大学 2008年高等代数第0题
📝 题目
四、（1）将二次 $\displaystyle f(x, y, z)=-2 x y+2 x z+2 y z$ 正交标准化；
（2）求三元实函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上的最大值和最小值，并求一个最值点．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x,y,z) = -2xy + 2xz + 2yz$ 的矩阵 $A$ 满足 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = (x,y,z)^T$。由于交叉项系数一半为矩阵元素，得 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$f = \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为交叉项系数的一半。
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵对称。
步骤 2/6
目标：求特征值
解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$：
$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)^2(\lambda+2)=0$，得特征值 $\lambda_1=1$（二重），$\lambda_2=-2$。
公式：$|\lambda E - A| = 0$
提示：计算行列式时注意符号，可先进行行变换简化。
步骤 3/6
目标：求特征向量并正交化
对于 $\lambda=1$，解 $(E-A)\mathbf{x}=0$：系数矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，得基础解系 $\alpha_1=(1,-1,0)^T$，$\alpha_2=(1,0,1)^T$。正交化：$\beta_1=\alpha_1$，$\beta_2=\alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,-1,0) = (\frac12, \frac12, 1)$。单位化：$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$，$\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)^T$。
公式：Schmidt正交化：$\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i$
提示：正交化时注意内积计算，单位化时不要忘记模长。
步骤 4/6
目标：求特征向量（续）
对于 $\lambda=-2$，解 $(-2E-A)\mathbf{x}=0$：系数矩阵 $\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，得 $\alpha_3=(-1,-1,1)^T$，单位化：$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1)^T$。
公式：单位化：$\gamma = \frac{\alpha}{\|\alpha\|}$
提示：注意特征向量方向可任意，但单位化后需确保正交。
步骤 5/6
目标：构造正交变换并写出标准形
正交变换矩阵 $Q = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3)$，则 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，二次型化为 $f = \mathbf{y}^T Q^T A Q \mathbf{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_1 y_2^2 + \lambda_2 y_3^2 = y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2$。
公式：$f = \sum \lambda_i y_i^2$
提示：正交变换保持向量长度，标准形系数即为特征值。
步骤 6/6
目标：求最值及最值点
在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上，即 $\|\mathbf{x}\|=1$，由于正交变换保持长度，有 $y_1^2+y_2^2+y_3^2=1$。则 $f = y_1^2+y_2^2-2y_3^2 = (1-y_3^2)-2y_3^2 = 1-3y_3^2$，故当 $y_3=0$ 时 $f$ 最大为 $1$，当 $y_3=\pm1$ 时 $f$ 最小为 $-2$。最大值点对应特征值 $1$ 的特征向量方向，取 $\gamma_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)^T$，代入验证 $f=1$。最小值点对应特征值 $-2$ 的特征向量方向，取 $\gamma_3 = (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})^T$，代入验证 $f=-2$。
公式：在单位球面上，二次型的最值等于矩阵的最大和最小特征值。
提示：最值点需取单位特征向量，注意符号不影响最值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。