哈尔滨工程大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
三、设 $\displaystyle V, W$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的线性空间， $\displaystyle \operatorname{dim} V=2, \operatorname{dim} W=3, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为 $V$ 的基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 为
$W$ 的基，再设 $\displaystyle \sigma, \eta$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的线性变换，且它们在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，令线性空间 $\displaystyle V \otimes W=\{(v, w) \mid v \in V, w \in W\}$ 为 $V$ 和 $W$ 的外直和．
$\displaystyle \left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right), k(v, w)=(k v, k w)$
$\displaystyle \phi: V \otimes W,(v, w) \rightarrow(\sigma(v), \eta(w))$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题与符号
已知 $V$ 和 $W$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$\dim V=2$，$\dim W=3$。$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $V$ 的基，$\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 是 $W$ 的基。$\sigma:V\to V$ 和 $\eta:W\to W$ 是线性变换，在给定基下的矩阵分别为 $A$ 和 $B$。定义外直和 $V\otimes W=\{(v,w)\mid v\in V, w\in W\}$，加法和数乘按分量进行。映射 $\phi:V\otimes W\to V\otimes W$，$\phi(v,w)=(\sigma(v),\eta(w))$。需要求 $\phi$ 在某个基下的矩阵。
提示：注意符号 $\otimes$ 在此表示外直和（直和），而非张量积。
步骤 2/6
目标：确定外直和的基
外直和 $V\otimes W$ 的维数为 $\dim V+\dim W=5$。一组自然的基为：
\[
\epsilon_1=(\alpha_1,0),\quad \epsilon_2=(\alpha_2,0),\quad \epsilon_3=(0,\beta_1),\quad \epsilon_4=(0,\beta_2),\quad \epsilon_5=(0,\beta_3).
\]
提示：基的选取要保证线性无关且张成整个空间。
步骤 3/6
目标：计算 $\phi$ 在 $V$ 部分基向量上的作用
对于 $i=1,2$，有
\[
\phi(\alpha_i,0) = (\sigma(\alpha_i), \eta(0)) = (\sigma(\alpha_i), 0).
\]
由于 $\sigma$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2$ 下的矩阵为 $A=(a_{ij})_{2\times 2}$，即 $\sigma(\alpha_j)=\sum_{i=1}^2 a_{ij}\alpha_i$，所以
\[
\phi(\alpha_j,0) = \left(\sum_{i=1}^2 a_{ij}\alpha_i, 0\right) = \sum_{i=1}^2 a_{ij} (\alpha_i,0) = \sum_{i=1}^2 a_{ij}\epsilon_i.
\]
因此，$\phi(\epsilon_j)=\sum_{i=1}^2 a_{ij}\epsilon_i$，即 $\phi$ 在 $\epsilon_1,\epsilon_2$ 张成的子空间上的矩阵就是 $A$。
公式：\sigma(\alpha_j)=\sum_{i=1}^2 a_{ij}\alpha_i
提示：注意矩阵 $A$ 的列向量对应基像的系数。
步骤 4/6
目标：计算 $\phi$ 在 $W$ 部分基向量上的作用
对于 $j=1,2,3$，有
\[
\phi(0,\beta_j) = (0, \eta(\beta_j)).
\]
由于 $\eta$ 在基 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 下的矩阵为 $B=(b_{ij})_{3\times 3}$，即 $\eta(\beta_j)=\sum_{k=1}^3 b_{kj}\beta_k$，所以
\[
\phi(0,\beta_j) = \left(0, \sum_{k=1}^3 b_{kj}\beta_k\right) = \sum_{k=1}^3 b_{kj} (0,\beta_k) = \sum_{k=1}^3 b_{kj}\epsilon_{2+k}.
\]
因此，$\phi(\epsilon_{2+j})=\sum_{k=1}^3 b_{kj}\epsilon_{2+k}$，即 $\phi$ 在 $\epsilon_3,\epsilon_4,\epsilon_5$ 张成的子空间上的矩阵就是 $B$。
公式：\eta(\beta_j)=\sum_{k=1}^3 b_{kj}\beta_k
提示：注意基向量的索引对应关系。
步骤 5/6
目标：组合得到 $\phi$ 的矩阵
由于 $\phi$ 将 $\epsilon_1,\epsilon_2$ 映射到它们张成的子空间，将 $\epsilon_3,\epsilon_4,\epsilon_5$ 映射到它们张成的子空间，没有交叉项，因此 $\phi$ 在基 $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\epsilon_4,\epsilon_5$ 下的矩阵是分块对角矩阵：
\[
M = \begin{pmatrix}
A & 0_{2\times 3} \\
0_{3\times 2} & B
\end{pmatrix},
\]
其中 $A$ 是 $2\times 2$ 矩阵，$B$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$0$ 表示相应大小的零矩阵。
提示：分块对角矩阵的写法要明确各块的大小。
步骤 6/6
目标：验证矩阵的正确性
验证：对于任意 $(v,w)\in V\otimes W$，设 $v=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2$，$w=y_1\beta_1+y_2\beta_2+y_3\beta_3$，则 $(v,w)$ 在基下的坐标为 $(x_1,x_2,y_1,y_2,y_3)^T$。$\phi(v,w)=(\sigma(v),\eta(w))$，而 $\sigma(v)$ 在 $\alpha$ 基下的坐标为 $A(x_1,x_2)^T$，$\eta(w)$ 在 $\beta$ 基下的坐标为 $B(y_1,y_2,y_3)^T$，因此 $\phi(v,w)$ 的坐标为 $(A(x_1,x_2)^T, B(y_1,y_2,y_3)^T)^T$，这正是分块对角矩阵作用的结果。
提示：通过坐标验证可以确保矩阵表示的正确性。
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