哈尔滨工程大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,0,1), \alpha_{2}=(2,1,-1,1,-3), \alpha_{3}=(3,2,-1,1,-2) \in \mathbb{R}^{5}$ ，视 $\displaystyle \mathbb{R}^{5}$ 为欧氏空间。再令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的子空间 $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ．
（1）求 $W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ ；
（2）求 $\displaystyle W^{\perp}$ 的一组标准正交基。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立正交补的线性方程组
设 $x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in W^{\perp}$，则 $\langle x,\alpha_i\rangle=0$，$i=1,2,3$。得到齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3+0x_4+x_5=0\\
2x_1+x_2-x_3+x_4-3x_5=0\\
3x_1+2x_2-x_3+x_4-2x_5=0
\end{cases}
$$
公式：$\langle x,\alpha_i\rangle=0$
提示：注意内积是标准内积，即对应分量乘积之和。
步骤 2/6
目标：化简系数矩阵为行阶梯形
系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&1\\2&1&-1&1&-3\\3&2&-1&1&-2\end{pmatrix}$。进行行变换：
$R_2-2R_1$，$R_3-3R_1$ 得 $\begin{pmatrix}1&1&1&0&1\\0&-1&-3&1&-5\\0&-1&-4&1&-5\end{pmatrix}$；
再 $R_3-R_2$ 得 $\begin{pmatrix}1&1&1&0&1\\0&-1&-3&1&-5\\0&0&-1&0&0\end{pmatrix}$。
提示：行变换要仔细，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：回代求解基础解系
由第三行得 $x_3=0$。代入第二行：$-x_2+x_4-5x_5=0$，即 $x_2=x_4-5x_5$。代入第一行：$x_1+(x_4-5x_5)+0+x_5=0$，即 $x_1=-x_4+4x_5$。自由变量为 $x_4,x_5$。令 $(x_4,x_5)=(1,0)$ 得 $\beta_1=(-1,1,0,1,0)$；令 $(0,1)$ 得 $\beta_2=(4,-5,0,0,1)$。所以 $W^{\perp}=L(\beta_1,\beta_2)$。
提示：自由变量赋值时注意顺序，基础解系要线性无关。
步骤 4/6
目标：施密特正交化第一步
取 $\gamma_1=\beta_1=(-1,1,0,1,0)$，计算 $\|\gamma_1\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2+1^2+0^2}=\sqrt{3}$。
公式：$\gamma_1=\beta_1$
提示：正交化时第一个向量直接取原向量。
步骤 5/6
目标：施密特正交化第二步
计算内积 $\langle\beta_2,\gamma_1\rangle=4\cdot(-1)+(-5)\cdot1+0\cdot0+0\cdot1+1\cdot0=-4-5=-9$，$\langle\gamma_1,\gamma_1\rangle=3$。则 $\gamma_2=\beta_2-\frac{\langle\beta_2,\gamma_1\rangle}{\langle\gamma_1,\gamma_1\rangle}\gamma_1=(4,-5,0,0,1)-\frac{-9}{3}(-1,1,0,1,0)=(4,-5,0,0,1)+3(-1,1,0,1,0)=(1,-2,0,3,1)$。计算 $\|\gamma_2\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+0^2+3^2+1^2}=\sqrt{15}$。
公式：$\gamma_2=\beta_2-\frac{\langle\beta_2,\gamma_1\rangle}{\langle\gamma_1,\gamma_1\rangle}\gamma_1$
提示：注意投影公式中分母是内积，不要忘记减号。
步骤 6/6
目标：单位化得到标准正交基
单位化：$\eta_1=\frac{\gamma_1}{\|\gamma_1\|}=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},0,\frac{1}{\sqrt{3}},0\right)$，$\eta_2=\frac{\gamma_2}{\|\gamma_2\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{15}},-\frac{2}{\sqrt{15}},0,\frac{3}{\sqrt{15}},\frac{1}{\sqrt{15}}\right)$。所以 $W^{\perp}$ 的一组标准正交基为 $\{\eta_1,\eta_2\}$。
公式：$\eta_i=\frac{\gamma_i}{\|\gamma_i\|}$
提示：单位化时每个分量除以模长，注意符号。
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