哈尔滨工程大学 2011年高等代数第0题

二次型 $f(x_1,\cdots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2+x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n$ 的矩阵 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，主对角线元素均为 $1$，次对角线（即 $(i,i+1)$ 和 $(i+1,i)$ 位置）元素均为 $\frac{1}{2}$，其余元素为 $0$。因此 $A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}_{n\times n}$。

实二次型正定的充要条件是它的矩阵的各阶顺序主子式都大于 $0$。记 $D_k$ 为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式（即左上角 $k\times k$ 子式），则需验证 $D_1>0, D_2>0, \ldots, D_n>0$。

计算 $D_1$ 和 $D_2$： $D_1 = |1| = 1 > 0$。 $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$。

对于 $k \geq 3$，$D_k$ 是 $k$ 阶三对角行列式： $D_k = \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}_{k\times k}$。 按第一行展开，得递推关系：$D_k = 1 \cdot D_{k-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot D_{k-2} = D_{k-1} - \frac{1}{4} D_{k-2}$，其中定义 $D_0 = 1$。

递推关系 $D_k = D_{k-1} - \frac{1}{4} D_{k-2}$ 的特征方程为 $r^2 - r + \frac{1}{4} = 0$，解得 $r = \frac{1}{2}$（二重根）。因此通解形式为 $D_k = (c_1 + c_2 k) \left(\frac{1}{2}\right)^k$。 代入初始条件：$D_0 = 1$ 得 $c_1 = 1$；$D_1 = 1$ 得 $(1 + c_2) \cdot \frac{1}{2} = 1$，解得 $c_2 = 1$。 所以 $D_k = (1 + k) \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{k+1}{2^k}$。

对于 $k = 1, 2, \ldots, n$，有 $D_k = \frac{k+1}{2^k} > 0$，因为分子分母均为正数。因此所有顺序主子式均大于 $0$。

由于二次型矩阵的所有顺序主子式都大于 $0$，根据正定性的充要条件，该二次型是正定的。