哈尔滨工程大学 2011年高等代数第0题
📝 题目
六、若 $\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间的非零向量，子空间 $\displaystyle P_{\alpha}=\{\xi \in V \mid(\xi, \alpha)=0\}$ 为垂直于 $\displaystyle \alpha$ 的超平面，若 $\displaystyle (\gamma, \alpha)(\eta, \alpha)>0$ ，则称向量 $\displaystyle \gamma, \eta$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$ 的同侧，若向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{m}$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$的同侧，且它们相互夹角 $\displaystyle >\frac{\pi}{2}$ ，求证这组向量线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设向量组线性相关，引出矛盾
假设向量组 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$ 线性相关，则存在不全为零的实数 $c_1, c_2, \dots, c_m$ 使得 $\sum_{i=1}^m c_i \beta_i = 0$。不妨设 $c_1 > 0$（否则可整体乘以 $-1$），并令 $S = \{i \mid c_i > 0\}$，$T = \{i \mid c_i < 0\}$，则 $S \cup T$ 非空。于是 $\sum_{i \in S} c_i \beta_i = \sum_{j \in T} (-c_j) \beta_j$。记 $\gamma = \sum_{i \in S} c_i \beta_i$，则 $\gamma \neq 0$（否则所有 $c_i=0$）。
公式：$\sum_{i=1}^m c_i \beta_i = 0$
提示：注意线性相关的定义：存在不全为零的系数使得线性组合为零。
步骤 2/5
目标：利用同侧条件确定内积符号
由于所有 $\beta_i$ 位于超平面 $P_\alpha$ 的同侧，即 $\beta_i$ 与 $\alpha$ 的内积同号。不妨设 $(\beta_i, \alpha) > 0$（否则取 $\alpha$ 的相反方向）。则 $(\gamma, \alpha) = \sum_{i \in S} c_i (\beta_i, \alpha) > 0$，同理 $\sum_{j \in T} (-c_j) \beta_j$ 与 $\alpha$ 的内积也 $>0$。
公式：$(\beta_i, \alpha) > 0$
提示：同侧条件确保所有内积同号，可统一假设为正。
步骤 3/5
目标：计算γ与自身的内积
计算 $\|\gamma\|^2 = (\gamma, \gamma) = \left(\sum_{i \in S} c_i \beta_i, \sum_{j \in T} (-c_j) \beta_j\right) = \sum_{i \in S} \sum_{j \in T} c_i (-c_j) (\beta_i, \beta_j)$。
公式：$\|\gamma\|^2 = \sum_{i \in S} \sum_{j \in T} c_i (-c_j) (\beta_i, \beta_j)$
提示：注意内积的双线性性，展开时不要遗漏交叉项。
步骤 4/5
目标：利用夹角大于π/2的条件
由于 $\beta_i$ 与 $\beta_j$ 的夹角 $> \frac{\pi}{2}$，故 $(\beta_i, \beta_j) < 0$。又因为 $i \in S$ 时 $c_i > 0$，$j \in T$ 时 $-c_j > 0$，所以每一项 $c_i (-c_j)(\beta_i, \beta_j) < 0$。因此 $\|\gamma\|^2 < 0$。
公式：$(\beta_i, \beta_j) < 0$
提示：夹角大于π/2意味着内积为负，注意与系数符号结合。
步骤 5/5
目标：得出矛盾，完成证明
但 $\|\gamma\|^2$ 是向量 $\gamma$ 的模长的平方，应非负，即 $\|\gamma\|^2 \geq 0$。这与 $\|\gamma\|^2 < 0$ 矛盾。故假设不成立，向量组 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$ 线性无关。
公式：$\|\gamma\|^2 \geq 0$
提示：内积的正定性：任何非零向量的模长平方为正。
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