哈尔滨工程大学 2013年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $A$ 为 3 阶半正定阵，向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性无关，若 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=\beta^{T} A \beta=0$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2$ ，则二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} A x$ 经正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化成的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件：半正定矩阵与零空间
已知 $A$ 是3阶半正定矩阵，即 $A$ 的特征值非负。存在线性无关的向量 $\alpha, \beta$ 使得 $\alpha^T A \alpha = 0$ 且 $\beta^T A \beta = 0$。由于 $A$ 半正定，$\alpha^T A \alpha = 0$ 等价于 $A\alpha = 0$（因为 $A$ 可对角化，且特征值非负，$\alpha^T A \alpha = 0$ 意味着 $\alpha$ 属于零空间）。同理 $A\beta = 0$。因此 $\alpha, \beta$ 是 $A$ 的零空间中的向量。
提示：注意：对于半正定矩阵，$\alpha^T A \alpha = 0$ 当且仅当 $A\alpha = 0$。
步骤 2/5
目标：确定零空间维数
由于 $\alpha, \beta$ 线性无关，且都属于零空间，所以零空间的维数至少为2。因此矩阵 $A$ 至少有两个特征值为0。
提示：零空间的维数等于特征值0的几何重数，对于半正定矩阵，几何重数等于代数重数。
步骤 3/5
目标：利用迹条件求非零特征值
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，且 $\lambda_i \ge 0$。已知 $\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 2$。由前一步，至少有两个特征值为0，不妨设 $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$，则 $\lambda_3 = 2$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^3 \lambda_i$
提示：迹等于特征值之和，注意特征值非负。
步骤 4/5
目标：确定标准形
二次型 $f(x) = x^T A x$ 经正交变换 $x = Py$ 可化为标准形 $\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$。代入特征值得 $f = 0 \cdot y_1^2 + 0 \cdot y_2^2 + 2 y_3^2 = 2 y_3^2$。
公式：标准形：$\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$
提示：正交变换不改变特征值，标准形由特征值决定。
步骤 5/5
目标：总结答案
因此，二次型经正交变换化成的标准形为 $2y_3^2$。
提示：注意标准形中变量的顺序可调，但系数为2。
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