哈尔滨工程大学 2014年高等代数第10题
📝 题目
10．在向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中规定内积（不一定是标准内积）后得到欧式空间 $V$ ，且 $V$ 的基
$\displaystyle \alpha_{1}=(2,1), \alpha_{2}=(3,2)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}6 & 10 \\ 10 & 17\end{array}\right)$ ，则基 $\displaystyle e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定过渡矩阵
设基 $\alpha_1, \alpha_2$ 到基 $e_1, e_2$ 的过渡矩阵为 $P$，即 $(e_1, e_2) = (\alpha_1, \alpha_2) P$。由 $\alpha_1=(2,1), \alpha_2=(3,2)$，得 $(e_1, e_2) = (\alpha_1, \alpha_2) \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$。
公式：过渡矩阵定义：$(e_1, e_2) = (\alpha_1, \alpha_2) P$
提示：注意过渡矩阵是从旧基到新基的变换矩阵，即新基向量用旧基表示时系数矩阵的逆。
步骤 2/6
目标：计算逆矩阵
计算 $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{2\cdot2-3\cdot1} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$。所以 $P = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：二阶矩阵逆矩阵公式：$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
提示：注意行列式不为零，且逆矩阵元素位置和符号。
步骤 3/6
目标：度量矩阵变换公式
基 $e_1, e_2$ 的度量矩阵 $B$ 与基 $\alpha_1, \alpha_2$ 的度量矩阵 $A$ 满足 $B = P^T A P$。
公式：度量矩阵在基变换下的公式：$B = P^T A P$
提示：注意是 $P^T$ 而不是 $P$，且顺序不能颠倒。
步骤 4/6
目标：计算 $P^T A$
先计算 $P^T A$：$P^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$，$A = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 10 & 17 \end{pmatrix}$，则 $P^T A = \begin{pmatrix} 2\cdot6+(-1)\cdot10 & 2\cdot10+(-1)\cdot17 \\ (-3)\cdot6+2\cdot10 & (-3)\cdot10+2\cdot17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法规则
提示：注意矩阵乘法的顺序：左乘行乘右列。
步骤 5/6
目标：计算 $B = (P^T A) P$
将上一步结果乘以 $P$：$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2+3\cdot(-1) & 2\cdot(-3)+3\cdot2 \\ 2\cdot2+4\cdot(-1) & 2\cdot(-3)+4\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：计算时注意符号，尤其是负号。
步骤 6/6
目标：得出结果
因此，基 $e_1, e_2$ 的度量矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：最终结果是一个对角矩阵，可验证内积：$(e_1, e_1)=1$, $(e_1, e_2)=0$, $(e_2, e_2)=2$。
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