哈尔滨工程大学 2014年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $A$ 为 3 阶奇异阵，$\displaystyle A+E$ 的行向量组线性相关，秩 $\displaystyle (A+2 E)=2$ ，则 $\displaystyle |A+3 E|=$
$\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定特征值0
由于 $A$ 为3阶奇异阵，即 $|A|=0$，所以 $0$ 是 $A$ 的一个特征值。
公式：|A|=0
提示：奇异矩阵行列式为0，对应特征值0。
步骤 2/6
目标：确定特征值-1
$A+E$ 的行向量组线性相关，意味着 $|A+E|=0$，因此 $-1$ 是 $A$ 的一个特征值。
公式：|A+E|=0
提示：行向量组线性相关等价于行列式为0。
步骤 3/6
目标：确定特征值-2
已知 $\operatorname{rank}(A+2E)=2$，而 $A+2E$ 是3阶矩阵，秩为2说明其行列式为0，即 $|A+2E|=0$，所以 $-2$ 是 $A$ 的一个特征值。
公式：|A+2E|=0
提示：n阶矩阵秩小于n时行列式为0。
步骤 4/6
目标：总结特征值
至此，$A$ 的三个特征值分别为 $0, -1, -2$。
提示：注意特征值互异，且已全部找到。
步骤 5/6
目标：计算A+3E的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda+3$ 是 $A+3E$ 的特征值。因此 $A+3E$ 的特征值为 $0+3=3$, $-1+3=2$, $-2+3=1$。
公式：若 $A\alpha=\lambda\alpha$，则 $(A+3E)\alpha=(\lambda+3)\alpha$
提示：注意是加3E，不是减。
步骤 6/6
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积，故 $|A+3E| = 3 \times 2 \times 1 = 6$。
公式：|B| = \prod \lambda_i
提示：特征值乘积要算对。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。