哈尔滨工程大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
三、对齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=0 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=0
\end{array}\right.
$$
（1）求其中一个基础解系；
（2）求其向量形式的通解。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出系数矩阵
将方程组写成矩阵形式，系数矩阵为
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 \\ 5 & 4 & 3 & 3 & -1 \end{pmatrix}.$$
提示：注意系数矩阵的行数与方程个数相同，列数与未知数个数相同。
步骤 2/8
目标：初等行变换（消去第一列）
将第1行的-3倍加到第2行，-5倍加到第4行，得到
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -6 \end{pmatrix}.$$
提示：注意变换时只对行操作，不要改变矩阵的秩。
步骤 3/8
目标：化简第二行
将第2行乘以-1，得到
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -6 \end{pmatrix}.$$
提示：乘以非零常数是允许的初等行变换。
步骤 4/8
目标：消去第三、四行的第二列
将第2行的-1倍加到第3行，第2行的1倍加到第4行，得到
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意第三、四行全为零，说明方程组有效方程只有两个。
步骤 5/8
目标：化为行最简形
将第2行的-1倍加到第1行，得到行最简形矩阵
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：行最简形要求主元为1且主元所在列的其他元素为0。
步骤 6/8
目标：写出等价方程组并确定自由变量
由行最简形得到等价方程组
$$\begin{cases} x_1 - x_3 - x_4 - 5x_5 = 0, \\ x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 6x_5 = 0. \end{cases}$$
自由变量为 $x_3, x_4, x_5$，共有3个自由变量。
提示：自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 7/8
目标：求基础解系
令自由变量分别取 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$，代入方程组解得：
- 当 $(x_3,x_4,x_5)=(1,0,0)$ 时，$x_1=1, x_2=-2$，得 $\xi_1 = (1, -2, 1, 0, 0)^T$。
- 当 $(x_3,x_4,x_5)=(0,1,0)$ 时，$x_1=1, x_2=-2$，得 $\xi_2 = (1, -2, 0, 1, 0)^T$。
- 当 $(x_3,x_4,x_5)=(0,0,1)$ 时，$x_1=5, x_2=-6$，得 $\xi_3 = (5, -6, 0, 0, 1)^T$。
因此一个基础解系为 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$。
提示：基础解系中的向量必须线性无关，且每个向量满足方程组。
步骤 8/8
目标：写出通解
向量形式的通解为
$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k_1, k_2, k_3 \in \mathbb{R}.$$
提示：通解是基础解系的线性组合，系数为任意常数。
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