哈尔滨工程大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
五、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为数域 上 维线性空间 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} f_{1}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\mathcal{A})$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用互素多项式性质得到恒等式
因为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 互素，存在 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x)f_1(x) + v(x)f_2(x) = 1$。将 $x$ 替换为线性变换 $\mathcal{A}$，得到 $u(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A}) + v(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A}) = \mathcal{I}$，其中 $\mathcal{I}$ 是恒等变换。于是对任意 $\alpha \in V$，有 $\alpha = u(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A})\alpha + v(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha$。
公式：u(x)f_1(x) + v(x)f_2(x) = 1
提示：注意将多项式恒等式中的变量替换为线性变换时，保持运算顺序一致。
步骤 2/5
目标：证明 Ker f(A) 包含于 Ker f1(A) + Ker f2(A)
取 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\mathcal{A})$，即 $f(\mathcal{A})\alpha = f_1(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha = 0$。令 $\beta = v(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha$，则 $f_1(\mathcal{A})\beta = v(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha = v(\mathcal{A})f(\mathcal{A})\alpha = 0$，所以 $\beta \in \operatorname{Ker} f_1(\mathcal{A})$。类似地，令 $\gamma = u(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A})\alpha$，则 $f_2(\mathcal{A})\gamma = 0$，故 $\gamma \in \operatorname{Ker} f_2(\mathcal{A})$。由第一步恒等式，$\alpha = \beta + \gamma \in \operatorname{Ker} f_1(\mathcal{A}) + \operatorname{Ker} f_2(\mathcal{A})$。
提示：注意 $f_1(\mathcal{A})$ 与 $f_2(\mathcal{A})$ 可交换，因为它们是 $\mathcal{A}$ 的多项式。
步骤 3/5
目标：证明 Ker f1(A) + Ker f2(A) 包含于 Ker f(A)
取 $\alpha \in \operatorname{Ker} f_1(\mathcal{A}) + \operatorname{Ker} f_2(\mathcal{A})$，设 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$，其中 $\alpha_1 \in \operatorname{Ker} f_1(\mathcal{A})$，$\alpha_2 \in \operatorname{Ker} f_2(\mathcal{A})$。则 $f(\mathcal{A})\alpha = f_1(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha_1 + f_1(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha_2 = f_2(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A})\alpha_1 + f_1(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha_2 = 0$，所以 $\alpha \in \operatorname{Ker} f(\mathcal{A})$。
提示：利用多项式可交换性：$f_1(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A}) = f_2(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A})$。
步骤 4/5
目标：证明和是直和
设 $\alpha \in \operatorname{Ker} f_1(\mathcal{A}) \cap \operatorname{Ker} f_2(\mathcal{A})$，则 $f_1(\mathcal{A})\alpha = 0$ 且 $f_2(\mathcal{A})\alpha = 0$。由第一步恒等式，$\alpha = u(\mathcal{A})f_1(\mathcal{A})\alpha + v(\mathcal{A})f_2(\mathcal{A})\alpha = 0$，所以交为零子空间。因此和是直和。
提示：直和的定义要求交为零子空间，这里通过恒等式直接推出。
步骤 5/5
目标：总结结论
由第二步和第三步得到 $\operatorname{Ker} f(\mathcal{A}) = \operatorname{Ker} f_1(\mathcal{A}) + \operatorname{Ker} f_2(\mathcal{A})$，再由第四步知和为直和，故 $\operatorname{Ker} f(\mathcal{A}) = \operatorname{Ker} f_1(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} f_2(\mathcal{A})$。
提示：注意直和符号 $\oplus$ 表示和且交为零。
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