哈尔滨工程大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶对称阵，且 $A$ 正定，求证：存在一个可逆矩阵使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时为对角阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用A的正定性将其化为单位矩阵
由于$A$是正定对称矩阵，存在可逆矩阵$Q$使得$Q^T A Q = I$（单位矩阵）。这是正定矩阵的合同标准形性质。
公式：Q^T A Q = I
提示：注意$Q$是可逆的，但不一定是正交的。
步骤 2/7
目标：构造对称矩阵C
令$C = Q^T B Q$。由于$B$对称，计算$C^T = (Q^T B Q)^T = Q^T B^T Q = Q^T B Q = C$，所以$C$也是对称矩阵。
公式：C = Q^T B Q
提示：验证对称性时注意矩阵转置的性质。
步骤 3/7
目标：将C正交对角化
因为$C$是实对称矩阵，存在正交矩阵$R$（即$R^T R = I$）使得$R^T C R = \Lambda$为对角矩阵。这是实对称矩阵的正交对角化定理。
公式：R^T C R = \Lambda
提示：正交矩阵满足$R^{-1} = R^T$，但这里不需要求逆。
步骤 4/7
目标：定义可逆矩阵P
令$P = QR$，则$P$可逆，因为$Q$和$R$均可逆。
公式：P = QR
提示：可逆矩阵的乘积仍可逆。
步骤 5/7
目标：验证P^T A P为单位矩阵
计算$P^T A P = (QR)^T A (QR) = R^T (Q^T A Q) R = R^T I R = R^T R = I$。
公式：P^T A P = I
提示：注意$R^T R = I$是因为$R$正交。
步骤 6/7
目标：验证P^T B P为对角矩阵
计算$P^T B P = (QR)^T B (QR) = R^T (Q^T B Q) R = R^T C R = \Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵。
公式：P^T B P = \Lambda
提示：这里利用了$C$的定义和正交对角化。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，存在可逆矩阵$P$使得$P^T A P = I$和$P^T B P = \Lambda$同时为对角矩阵。
提示：注意$I$也是对角矩阵。
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