哈尔滨工程大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
六、设 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 上的线性变化， $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证：
（1）$\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}_{\mathcal{A}} \mathcal{A}$ ；
（2）存在 的一个基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，在此基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\{1, \cdots, 1,0, \cdots, 0\}$（对角线为 $\displaystyle 1, \cdots, 1,0, \cdots 0$ ）的对角阵）。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明V等于像空间与核的和
对任意 $\alpha \in V$，由 $\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$ 得 $\alpha = \mathcal{A}(\alpha) + (\alpha - \mathcal{A}(\alpha))$。显然 $\mathcal{A}(\alpha) \in \mathcal{A}(V)$，且 $\mathcal{A}(\alpha - \mathcal{A}(\alpha)) = \mathcal{A}(\alpha) - \mathcal{A}^2(\alpha) = 0$，故 $\alpha - \mathcal{A}(\alpha) \in \ker \mathcal{A}$。因此 $V = \mathcal{A}(V) + \ker \mathcal{A}$。
公式：$\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$
提示：注意构造分解：$\alpha = \mathcal{A}(\alpha) + (\alpha - \mathcal{A}(\alpha))$，并验证第二项属于核。
步骤 2/5
目标：证明和是直和
设 $\beta \in \mathcal{A}(V) \cap \ker \mathcal{A}$，则存在 $\alpha \in V$ 使得 $\beta = \mathcal{A}(\alpha)$，且 $\mathcal{A}(\beta)=0$。于是 $0 = \mathcal{A}(\beta) = \mathcal{A}^2(\alpha) = \mathcal{A}(\alpha) = \beta$，故交为零空间。所以 $V = \mathcal{A}(V) \oplus \ker \mathcal{A}$。
提示：直和需证明交为零，利用幂等性 $\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$ 推出 $\beta=0$。
步骤 3/5
目标：取基并验证像空间基向量的像
由（1）知 $V = \mathcal{A}(V) \oplus \ker \mathcal{A}$。设 $\dim \mathcal{A}(V) = r$，取 $\mathcal{A}(V)$ 的一组基 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_r$，$\ker \mathcal{A}$ 的一组基 $\varepsilon_{r+1}, \dots, \varepsilon_n$，则 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基。由于 $\varepsilon_i \in \mathcal{A}(V)$，存在 $\alpha_i \in V$ 使得 $\varepsilon_i = \mathcal{A}(\alpha_i)$，于是 $\mathcal{A}(\varepsilon_i) = \mathcal{A}^2(\alpha_i) = \mathcal{A}(\alpha_i) = \varepsilon_i$，$i=1,\dots,r$。
公式：$\mathcal{A}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i$
提示：注意 $\varepsilon_i$ 是像空间中的向量，需利用幂等性计算其像。
步骤 4/5
目标：验证核空间基向量的像
对 $j=r+1,\dots,n$，$\varepsilon_j \in \ker \mathcal{A}$，故 $\mathcal{A}(\varepsilon_j)=0$。
公式：$\mathcal{A}(\varepsilon_j)=0$
提示：核中向量像为零，直接由定义得到。
步骤 5/5
目标：写出矩阵表示
因此 $\mathcal{A}$ 在此基下的矩阵为 $\operatorname{diag}\{1,\dots,1,0,\dots,0\}$，其中前 $r$ 个对角元为1，后 $n-r$ 个为0。
公式：$A = \operatorname{diag}\{1,\dots,1,0,\dots,0\}$
提示：矩阵是对角阵，对角元由基向量的像决定。
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