哈尔滨工程大学 2015年高等代数第0题
📝 题目
四、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 维线性空间 上的线性交换，$\displaystyle (\mathcal{A}+\mathcal{B})^{2}=\mathcal{A}+\mathcal{B}, \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}, \mathcal{B}^{2}=\mathcal{B}$ ，求证： $\displaystyle \mathcal{A B}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：展开条件等式
已知 $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $(\mathcal{A}+\mathcal{B})^2 = \mathcal{A}+\mathcal{B}$，$\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$，$\mathcal{B}^2 = \mathcal{B}$。展开 $(\mathcal{A}+\mathcal{B})^2$ 得：$(\mathcal{A}+\mathcal{B})^2 = \mathcal{A}^2 + \mathcal{A}\mathcal{B} + \mathcal{B}\mathcal{A} + \mathcal{B}^2 = \mathcal{A} + \mathcal{A}\mathcal{B} + \mathcal{B}\mathcal{A} + \mathcal{B}$。
公式：$(\mathcal{A}+\mathcal{B})^2 = \mathcal{A}^2 + \mathcal{A}\mathcal{B} + \mathcal{B}\mathcal{A} + \mathcal{B}^2$
提示：注意线性变换的乘法不满足交换律，展开时顺序不能交换。
步骤 2/6
目标：化简得到关系式
由条件 $(\mathcal{A}+\mathcal{B})^2 = \mathcal{A}+\mathcal{B}$，代入展开式得：$\mathcal{A} + \mathcal{A}\mathcal{B} + \mathcal{B}\mathcal{A} + \mathcal{B} = \mathcal{A} + \mathcal{B}$。两边消去 $\mathcal{A}+\mathcal{B}$，得到 $\mathcal{A}\mathcal{B} + \mathcal{B}\mathcal{A} = 0$，即 $\mathcal{A}\mathcal{B} = -\mathcal{B}\mathcal{A}$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B} = -\mathcal{B}\mathcal{A}$
提示：消去时注意等式两边都是线性变换，零变换是恒等零映射。
步骤 3/6
目标：左乘 $\mathcal{A}$
在等式 $\mathcal{A}\mathcal{B} = -\mathcal{B}\mathcal{A}$ 两边左乘 $\mathcal{A}$，得 $\mathcal{A}^2\mathcal{B} = -\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}$。利用 $\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$，得到 $\mathcal{A}\mathcal{B} = -\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B} = -\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}$
提示：左乘时注意运算顺序：先计算 $\mathcal{A}\mathcal{B}$ 再左乘 $\mathcal{A}$。
步骤 4/6
目标：右乘 $\mathcal{A}$
在等式 $\mathcal{A}\mathcal{B} = -\mathcal{B}\mathcal{A}$ 两边右乘 $\mathcal{A}$，得 $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A} = -\mathcal{B}\mathcal{A}^2$。利用 $\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$，得到 $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A} = -\mathcal{B}\mathcal{A}$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A} = -\mathcal{B}\mathcal{A}$
提示：右乘时注意 $\mathcal{B}\mathcal{A}^2 = \mathcal{B}\mathcal{A}$。
步骤 5/6
目标：联立得到 $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$
由第三步得 $\mathcal{A}\mathcal{B} = -\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}$，由第四步得 $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A} = -\mathcal{B}\mathcal{A}$。将第四步代入第三步：$\mathcal{A}\mathcal{B} = -(-\mathcal{B}\mathcal{A}) = \mathcal{B}\mathcal{A}$，即 $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$
提示：代入时注意负号的处理，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：结合反交换关系得零
由第二步得 $\mathcal{A}\mathcal{B} = -\mathcal{B}\mathcal{A}$，由第五步得 $\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{A}$。两式相加得 $2\mathcal{A}\mathcal{B} = 0$，即 $\mathcal{A}\mathcal{B} = 0$。
公式：$\mathcal{A}\mathcal{B} = 0$
提示：注意线性变换的加法：$\mathcal{A}\mathcal{B} + \mathcal{A}\mathcal{B} = 2\mathcal{A}\mathcal{B}$，但这里直接由等式推出。
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