哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $f(x)$ 为多项式，$k$ 为 $1,2,3,4, \cdots, f(k)=\sum_{m=1}^{k} m^{5}$ ，求 $f(-3)$ ．
3 ．求 $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+\cdots+x_{98} x_{99}$ 的正惯性指数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定多项式形式
由题意，对任意正整数 $k$，有 $f(k)=\sum_{m=1}^{k} m^{5}$。由于 $\sum_{m=1}^{k} m^{5}$ 是 $k$ 的6次多项式，且 $f(x)$ 是多项式，在无穷多个点处相等，故 $f(x)$ 就是该多项式。利用 Faulhaber 公式：
$$
\sum_{m=1}^{k} m^{5} = \frac{1}{6} k^{6} + \frac{1}{2} k^{5} + \frac{5}{12} k^{4} - \frac{1}{12} k^{2}.
$$
因此 $f(x) = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{2} x^{5} + \frac{5}{12} x^{4} - \frac{1}{12} x^{2}$。
公式：\sum_{m=1}^{k} m^{5} = \frac{1}{6} k^{6} + \frac{1}{2} k^{5} + \frac{5}{12} k^{4} - \frac{1}{12} k^{2}
提示：注意 $f(x)$ 是多项式，且与求和式在无穷多个整数上相等，因此两者恒等。
步骤 2/7
目标：代入 x = -3
将 $x=-3$ 代入 $f(x)$：
$$
f(-3) = \frac{1}{6}(-3)^6 + \frac{1}{2}(-3)^5 + \frac{5}{12}(-3)^4 - \frac{1}{12}(-3)^2.
$$
计算幂：$(-3)^6=729$，$(-3)^5=-243$，$(-3)^4=81$，$(-3)^2=9$。
提示：注意负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
步骤 3/7
目标：计算数值
代入数值：
$$
f(-3) = \frac{729}{6} + \frac{-243}{2} + \frac{5\cdot81}{12} - \frac{9}{12} = \frac{729}{6} - \frac{243}{2} + \frac{405}{12} - \frac{9}{12}.
$$
通分分母12：$\frac{729}{6}=\frac{1458}{12}$，$\frac{243}{2}=\frac{1458}{12}$，$\frac{405}{12}=\frac{405}{12}$，$\frac{9}{12}=\frac{9}{12}$。
$$
f(-3) = \frac{1458 - 1458 + 405 - 9}{12} = \frac{396}{12} = 33.
$$
提示：通分时注意符号，避免计算错误。
步骤 4/7
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f = x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{98}x_{99}$ 有99个变量。其对称矩阵 $A$ 满足 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A_{i,i+1}=A_{i+1,i}=\frac{1}{2}$，其余元素为0。即 $A$ 是99阶三对角矩阵，主对角线全0，次对角线全 $\frac{1}{2}$。
提示：二次型矩阵必须对称，交叉项系数平分到两个对称位置。
步骤 5/7
目标：求特征值
对于 $n$ 阶矩阵 $A$，主对角线为0，次对角线为 $\frac{1}{2}$，其特征值为 $\lambda_k = \cos\frac{k\pi}{n+1}$，$k=1,\dots,n$。这里 $n=99$，故特征值为 $\lambda_k = \cos\frac{k\pi}{100}$，$k=1,\dots,99$。
公式：\lambda_k = \cos\frac{k\pi}{n+1}
提示：该公式适用于三对角Toeplitz矩阵，需确认矩阵形式。
步骤 6/7
目标：判断特征值符号
余弦函数在 $(0,\pi)$ 上：当角度 $\theta \in (0,\pi/2)$ 时 $\cos\theta>0$；$\theta=\pi/2$ 时 $\cos\theta=0$；$\theta \in (\pi/2,\pi)$ 时 $\cos\theta<0$。
令 $\frac{k\pi}{100} < \frac{\pi}{2}$ 得 $k<50$，故 $k=1,\dots,49$ 时特征值为正；$k=50$ 时特征值为0；$k=51,\dots,99$ 时特征值为负。
提示：注意 $k$ 从1到99，$\cos\frac{50\pi}{100}=\cos\frac{\pi}{2}=0$。
步骤 7/7
目标：确定正惯性指数
正惯性指数是正特征值的个数。由上述，正特征值有49个，零特征值1个，负特征值49个。因此正惯性指数为49。
提示：正惯性指数只计正特征值个数，不计零。
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