哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $x^{3}+3 x+a x=1$ 的三个根成等差数列，求 $a$ ．
5 ．求
$$
\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right)^{99}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：整理方程并设根
原方程 $x^{3}+3 x+a x=1$ 整理为 $x^{3}+(3+a)x-1=0$。设三个根成等差数列，公差为 $d$，则三个根可设为 $\alpha-d, \alpha, \alpha+d$。
提示：注意方程化为标准形式 $x^3+px+q=0$，其中一次项系数为 $3+a$，常数项为 $-1$。
步骤 2/8
目标：应用韦达定理求根之和
由韦达定理，根之和为 $0$（因为 $x^2$ 项系数为 $0$），即 $(\alpha-d)+\alpha+(\alpha+d)=3\alpha=0$，解得 $\alpha=0$。
公式：根之和 $= -\frac{\text{二次项系数}}{\text{三次项系数}}$
提示：注意三次项系数为1，二次项系数为0，所以根之和为0。
步骤 3/8
目标：应用韦达定理求根之积
由韦达定理，根之积为 $-\frac{\text{常数项}}{\text{三次项系数}} = -(-1)=1$，即 $(\alpha-d)\alpha(\alpha+d)=\alpha(\alpha^2-d^2)=1$。代入 $\alpha=0$ 得 $0=1$，矛盾。
公式：根之积 $= -\frac{\text{常数项}}{\text{三次项系数}}$
提示：注意常数项是 $-1$，所以根之积为 $1$，而不是 $-1$。
步骤 4/8
目标：得出结论
由于 $\alpha=0$ 导致根之积为 $0$ 与 $1$ 矛盾，故不存在实数 $a$ 使得方程的三个根成等差数列。可能题目有误，常见题型为 $x^3+3x^2+ax+1=0$ 之类。
提示：检查原题是否抄写错误，例如是否应为 $x^3+3x^2+ax+1=0$。
步骤 5/8
目标：第5题：将矩阵分解为幂零矩阵
设 $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，则 $A = -I + N$，其中 $N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。计算 $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$N^3 = 0$。
公式：二项式定理：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
提示：注意 $I$ 与 $N$ 可交换，且 $N$ 是幂零矩阵，$N^3=0$。
步骤 6/8
目标：应用二项式定理展开
由于 $I$ 与 $N$ 可交换，$A^{99} = (-I+N)^{99} = \sum_{k=0}^{99} \binom{99}{k} (-I)^{99-k} N^k$。当 $k \ge 3$ 时 $N^k=0$，故只取 $k=0,1,2$。
提示：注意 $(-I)^{99-k} = (-1)^{99-k} I$。
步骤 7/8
目标：计算各项系数
$k=0$: $\binom{99}{0}(-1)^{99} I = -I$。
$k=1$: $\binom{99}{1}(-1)^{98} N = 99 N$。
$k=2$: $\binom{99}{2}(-1)^{97} N^2 = -\frac{99\times 98}{2} N^2 = -4851 N^2$。
公式：组合数公式 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
提示：注意 $(-1)^{97} = -1$，$\binom{99}{2}=4851$。
步骤 8/8
目标：合并结果得到最终矩阵
因此 $A^{99} = -I + 99N - 4851 N^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} + 99 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - 4851 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 99 & -1 & 0 \\ -4851 & 99 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵加法时对应位置相加。
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