哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
七、 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, a_{11}+a_{22}+a_{33}=2, A$ 的秩为1，证明 $A$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & & \\ & 0 & \\ & & 2\end{array}\right)$ 相似．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用秩1矩阵的结构表示
由于 $A$ 的秩为1，存在非零列向量 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}^3$ 使得 $A = \alpha \beta^T$。设 $\alpha = (x_1, x_2, x_3)^T$，$\beta = (y_1, y_2, y_3)^T$，则 $a_{ij} = x_i y_j$。
公式：A = \alpha \beta^T
提示：注意 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是非零向量，且表示不唯一，但后续推导与具体选择无关。
步骤 2/7
目标：计算迹并利用条件
矩阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^3 a_{ii} = \sum_{i=1}^3 x_i y_i = 2$。由题设 $a_{11}+a_{22}+a_{33}=2$，故 $\operatorname{tr}(A)=2$。
公式：\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^3 x_i y_i = 2
提示：迹是特征值之和，这里直接给出数值。
步骤 3/7
目标：确定特征值
由于 $A$ 是秩1矩阵，其特征值为 $0$（重数2）和 $\operatorname{tr}(A)=2$（因为非零特征值等于迹）。因此 $A$ 的特征值为 $0,0,2$。
公式：\lambda_1 = \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 2
提示：秩1矩阵的非零特征值等于迹，但需注意迹可能为零，此时特征值全为零。
步骤 4/7
目标：计算零特征值的几何重数
零特征值的几何重数等于 $\dim \ker A = 3 - \operatorname{rank}(A) = 3 - 1 = 2$。因此存在两个线性无关的特征向量属于特征值0。
公式：\dim \ker A = n - \operatorname{rank}(A)
提示：几何重数不超过代数重数，这里相等，说明可对角化。
步骤 5/7
目标：验证特征值2的特征向量存在
由于 $A$ 非零，且 $\operatorname{tr}(A)=2$，特征值2对应的特征向量存在。实际上，$A$ 的列空间由 $\alpha$ 张成，而 $\beta^T \alpha = \operatorname{tr}(A)=2$，故 $A\alpha = \alpha \beta^T \alpha = 2\alpha$，即 $\alpha$ 是特征值2的特征向量。
公式：A\alpha = 2\alpha
提示：注意 $\beta^T \alpha = \sum x_i y_i = \operatorname{tr}(A)=2$。
步骤 6/7
目标：判断可对角化
由于 $A$ 有3个线性无关的特征向量（两个属于0，一个属于2），故 $A$ 可对角化。因此 $A$ 相似于对角矩阵 $\operatorname{diag}(0,0,2)$。
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $A$ 与矩阵 $\begin{pmatrix}0 & & \\ & 0 & \\ & & 2\end{pmatrix}$ 相似。
提示：注意相似矩阵有相同的特征值，但特征值相同不一定相似，这里可对角化保证了相似。
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