哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
三、 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}1+a_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_{2} & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_{3} & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n}\end{array}\right|, a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0$ ，求证：
$$
D_{n}=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\left(1+\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将行列式表示为矩阵形式
令 $\mathbf{1}$ 为 $n$ 维全1列向量，$A = \operatorname{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$，则原行列式可写为 $D_n = \det(A + \mathbf{1} \mathbf{1}^T)$。
公式：$D_n = \det(A + \mathbf{1} \mathbf{1}^T)$
提示：注意 $A$ 是对角矩阵，且 $a_i \neq 0$，故 $A$ 可逆。
步骤 2/5
目标：提取公因子 $\det(A)$
由于 $A$ 可逆，有 $\det(A + \mathbf{1} \mathbf{1}^T) = \det(A) \det(I + A^{-1} \mathbf{1} \mathbf{1}^T)$。
公式：$\det(A + uv^T) = \det(A) \det(I + A^{-1} uv^T)$
提示：确保 $A$ 可逆，否则不能直接提取。
步骤 3/5
目标：计算 $\det(I + A^{-1} \mathbf{1} \mathbf{1}^T)$
利用公式 $\det(I + uv^T) = 1 + v^T u$，其中 $u = A^{-1} \mathbf{1}$，$v = \mathbf{1}$，则 $\det(I + A^{-1} \mathbf{1} \mathbf{1}^T) = 1 + \mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1}$。
公式：$\det(I + uv^T) = 1 + v^T u$
提示：注意 $u$ 和 $v$ 是列向量，$v^T u$ 是标量。
步骤 4/5
目标：计算 $\mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1}$
由于 $A^{-1} = \operatorname{diag}(1/a_1, 1/a_2, \dots, 1/a_n)$，所以 $\mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$。
公式：$\mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$
提示：注意 $a_i \neq 0$ 保证倒数存在。
步骤 5/5
目标：代入得到最终表达式
因此 $D_n = \det(A) \left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\right) = a_1 a_2 \cdots a_n \left(1 + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}\right)$。
公式：$D_n = \prod_{i=1}^n a_i \left(1 + \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\right)$
提示：验证 $n=1$ 时成立。
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