哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
二、已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的三个根， $\displaystyle g(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-c$ ，其中，$\displaystyle y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 为 $\displaystyle g(y)$ 的三个根．证明：
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1} x_{2} x_{3}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{5}+y_{1} y_{2} y_{3}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出f(x)的韦达定理
设 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$，由韦达定理：
\[
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3 = -a \\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = b \\
x_1x_2x_3 = -c
\end{cases}
\]
公式：韦达定理
提示：注意符号：三次项系数为1，常数项为c，根之积为(-1)^3 c = -c。
步骤 2/7
目标：写出g(y)的韦达定理
设 $g(y)=y^3-ay^2+by-c$ 的三个根为 $y_1, y_2, y_3$，由韦达定理：
\[
\begin{cases}
y_1+y_2+y_3 = a \\
y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3 = b \\
y_1y_2y_3 = c
\end{cases}
\]
公式：韦达定理
提示：注意g(y)的二次项系数为-a，因此根之和为a。
步骤 3/7
目标：建立f(x)与g(y)根的关系
注意到 $g(y)=y^3-ay^2+by-c = -[(-y)^3 + a(-y)^2 + b(-y) + c] = -f(-y)$。因此 $g(y)=0$ 当且仅当 $f(-y)=0$，即 $y$ 是 $f(-y)=0$ 的根，所以 $y_i = -x_i$（$i=1,2,3$）。验证韦达定理：
\[
\begin{aligned}
y_1+y_2+y_3 &= -(x_1+x_2+x_3) = a \\
y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3 &= x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = b \\
y_1y_2y_3 &= -x_1x_2x_3 = c
\end{aligned}
\]
因此 $y_i = -x_i$ 成立。
公式：多项式变换
提示：注意负号的处理：$g(y) = -f(-y)$，因此根互为相反数。
步骤 4/7
目标：计算左边表达式
计算 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3$：
\[
\begin{aligned}
x_1^2+x_2^2+x_3^2 &= (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) \\
&= (-a)^2 - 2b = a^2 - 2b.
\end{aligned}
\]
加上 $x_1x_2x_3 = -c$，得左边 $= a^2 - 2b - c$。
公式：平方和公式
提示：注意 $x_1x_2x_3 = -c$，不要忘记负号。
步骤 5/7
目标：计算右边表达式（修正后）
原题右边为 $y_1^2+y_2^2+y_3^5+y_1y_2y_3$，其中 $y_3^5$ 显然是笔误，应为 $y_3^2$。修正后计算：
\[
\begin{aligned}
y_1^2+y_2^2+y_3^2 &= (y_1+y_2+y_3)^2 - 2(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3) \\
&= a^2 - 2b.
\end{aligned}
\]
加上 $y_1y_2y_3 = c$，得右边 $= a^2 - 2b + c$。
公式：平方和公式
提示：注意 $y_1y_2y_3 = c$，符号为正。
步骤 6/7
目标：比较左右两边
左边 $= a^2 - 2b - c$，右边 $= a^2 - 2b + c$。两者相等当且仅当 $c=0$，但一般情况不成立。然而根据 $y_i = -x_i$，有 $y_i^2 = x_i^2$，且 $y_1y_2y_3 = -x_1x_2x_3$，所以左边 $= \sum x_i^2 + x_1x_2x_3$，右边 $= \sum x_i^2 - x_1x_2x_3$，一般不等。因此原题可能笔误，若右边为 $y_1^2+y_2^2+y_3^2 - y_1y_2y_3$，则右边 $= a^2 - 2b - c$，与左边相等。
提示：注意题目中的指数5可能是2的笔误，且符号可能应为减号。
步骤 7/7
目标：给出最终结论
在修正右边为 $y_1^2+y_2^2+y_3^2 - y_1y_2y_3$ 的条件下，等式成立：
\[
\boxed{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3 = y_1^2+y_2^2+y_3^2 - y_1y_2y_3}
\]
提示：最终答案需注意修正后的形式。
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