哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
五、用配方法化 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 为标准形，并写出相应的线性变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入新变量消去交叉项
由于二次型 $f = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3$ 不含平方项，先通过线性变换引入平方项。令
\[
\begin{cases}
x_1 = y_1 + y_2 \\
x_2 = y_1 - y_2 \\
x_3 = y_3
\end{cases}
\]
则 $x_1 x_2 = (y_1+y_2)(y_1-y_2) = y_1^2 - y_2^2$，$x_1 x_3 = (y_1+y_2)y_3$，$x_2 x_3 = (y_1-y_2)y_3$。代入得
\[
f = y_1^2 - y_2^2 + 2y_1 y_3.
\]
公式：x_1 x_2 = y_1^2 - y_2^2
提示：注意变换矩阵的行列式不为0，确保可逆。
步骤 2/7
目标：配方处理含交叉项的平方项
对 $y_1^2 + 2y_1 y_3$ 配方：$y_1^2 + 2y_1 y_3 = (y_1 + y_3)^2 - y_3^2$。但此处我们采用另一种变换：令
\[
\begin{cases}
y_1 = z_1 - z_3 \\
y_2 = z_2 \\
y_3 = z_3
\end{cases}
\]
则 $y_1^2 = (z_1 - z_3)^2 = z_1^2 - 2z_1 z_3 + z_3^2$，$2y_1 y_3 = 2(z_1 - z_3)z_3 = 2z_1 z_3 - 2z_3^2$。代入得
\[
f = (z_1^2 - 2z_1 z_3 + z_3^2) - z_2^2 + (2z_1 z_3 - 2z_3^2) = z_1^2 - z_2^2 - z_3^2.
\]
公式：(y_1 + y_3)^2 = y_1^2 + 2y_1 y_3 + y_3^2
提示：配方时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：得到标准形
经过两次线性变换，二次型化为
\[
f = z_1^2 - z_2^2 - z_3^2.
\]
这就是标准形，其中平方项的系数为1, -1, -1。
提示：标准形中平方项的系数即为特征值，但配方法得到的系数不一定等于特征值。
步骤 4/7
目标：写出第一次线性变换的矩阵
第一次变换：$\mathbf{x} = P_1 \mathbf{y}$，其中
\[
P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]
提示：注意变换矩阵的列对应新变量系数。
步骤 5/7
目标：写出第二次线性变换的矩阵
第二次变换：$\mathbf{y} = P_2 \mathbf{z}$，其中
\[
P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]
提示：注意变换顺序：先应用P2再应用P1。
步骤 6/7
目标：合成总的线性变换矩阵
总的线性变换为 $\mathbf{x} = P_1 P_2 \mathbf{z}$，计算乘积：
\[
P = P_1 P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]
因此，$\mathbf{x} = P \mathbf{z}$。
公式：P = P_1 P_2
提示：矩阵乘法顺序：先变换的矩阵在右边。
步骤 7/7
目标：总结结果
二次型 $f = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3$ 的标准形为 $f = z_1^2 - z_2^2 - z_3^2$，所用的线性变换为 $\mathbf{x} = P \mathbf{z}$，其中
\[
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]
提示：验证变换矩阵可逆（行列式不为0）。
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