哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换 $\displaystyle T(x)=A x$ 。证明：
（1）若 $A$ 是正交矩阵，则 $T$ 是正交变换；
（2）若 $A$ 是对称矩阵，则 $T$ 是对称变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解正交变换和对称变换的定义
正交变换：线性变换 $T$ 满足对任意 $x,y \in \mathbb{R}^n$，有 $\langle T(x), T(y) \rangle = \langle x, y \rangle$。对称变换：线性变换 $T$ 满足对任意 $x,y \in \mathbb{R}^n$，有 $\langle T(x), y \rangle = \langle x, T(y) \rangle$。
提示：注意内积的定义：$\langle x, y \rangle = x^T y$。
步骤 2/5
目标：证明（1）：将正交矩阵条件代入内积
已知 $A$ 是正交矩阵，即 $A^T A = I$。对于任意 $x, y \in \mathbb{R}^n$，计算 $\langle T(x), T(y) \rangle = (Ax)^T (Ay) = x^T A^T A y = x^T I y = x^T y = \langle x, y \rangle$。
公式：$A^T A = I$
提示：注意矩阵乘法顺序：$(Ax)^T = x^T A^T$。
步骤 3/5
目标：结论（1）：T是正交变换
由于 $\langle T(x), T(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ 对所有 $x,y$ 成立，根据正交变换的定义，$T$ 是正交变换。
步骤 4/5
目标：证明（2）：将对称矩阵条件代入内积
已知 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$。对于任意 $x, y \in \mathbb{R}^n$，计算 $\langle T(x), y \rangle = (Ax)^T y = x^T A^T y = x^T A y = x^T (Ay) = \langle x, T(y) \rangle$。
公式：$A^T = A$
提示：注意 $A^T y = A y$ 是因为 $A$ 对称，但此处直接使用 $A^T = A$ 更严谨。
步骤 5/5
目标：结论（2）：T是对称变换
由于 $\langle T(x), y \rangle = \langle x, T(y) \rangle$ 对所有 $x,y$ 成立，根据对称变换的定义，$T$ 是对称变换。
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