哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
六、 $\displaystyle A=($ ，
（1）求 $A$ 和 $\displaystyle A^{*}$ 的秩；
（2）证明 $A$ 的列向量都是 $\displaystyle A^{*} x=0$ 的解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析秩的情况：rank(A)=n
若 $\operatorname{rank}(A)=n$，则 $A$ 可逆，$|A|\neq 0$。伴随矩阵 $A^* = |A|A^{-1}$ 也可逆，故 $\operatorname{rank}(A^*)=n$。
公式：$A^* = |A|A^{-1}$
提示：注意可逆矩阵的伴随矩阵也可逆。
步骤 2/6
目标：分析秩的情况：rank(A)=n-1
若 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，则 $|A|=0$，且 $A$ 至少有一个 $n-1$ 阶子式非零，故 $A^* \neq 0$。由 $AA^* = |A|I = 0$ 知 $A^*$ 的列向量是 $Ax=0$ 的解，而 $Ax=0$ 的解空间维数为 $n - \operatorname{rank}(A) = 1$，所以 $\operatorname{rank}(A^*) \leq 1$。又 $A^* \neq 0$，故 $\operatorname{rank}(A^*) = 1$。
公式：$AA^* = |A|I$
提示：注意 $A^*$ 非零且列向量属于 $Ax=0$ 的解空间，解空间维数为1，故秩为1。
步骤 3/6
目标：分析秩的情况：rank(A)≤n-2
若 $\operatorname{rank}(A) \leq n-2$，则 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式为零，故 $A^* = 0$，从而 $\operatorname{rank}(A^*) = 0$。
提示：伴随矩阵元素为 $n-1$ 阶子式，秩小于 $n-1$ 时所有 $n-1$ 阶子式为0。
步骤 4/6
目标：总结秩的结论
综上，
\[
\operatorname{rank}(A^*) =
\begin{cases}
n, & \operatorname{rank}(A) = n, \\
1, & \operatorname{rank}(A) = n-1, \\
0, & \operatorname{rank}(A) \leq n-2.
\end{cases}
\]
提示：注意分段条件。
步骤 5/6
目标：证明列向量是解：利用伴随矩阵性质
由伴随矩阵的性质：$A^*A = |A|I$。设 $A$ 的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，则 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$。于是 $A^*A = A^*(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = (A^*\alpha_1, \dots, A^*\alpha_n) = |A|I$。
公式：$A^*A = |A|I$
提示：注意矩阵乘法的列向量表示。
步骤 6/6
目标：分情况讨论行列式是否为零
若 $|A|=0$，则 $A^*\alpha_j = 0$ 对每个 $j$ 成立，即 $A$ 的每个列向量都是 $A^*x=0$ 的解。若 $|A|\neq 0$，则 $A^*$ 可逆，$A^*x=0$ 只有零解，而 $A$ 的列向量一般非零，故不是解。因此，结论仅在 $|A|=0$ 时成立。
提示：注意题目可能隐含 $A$ 是奇异矩阵，否则结论不成立。
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