哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
十、定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 上的线性变换 $\displaystyle T f(x)=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ．
（1）求 $T$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 下的矩阵；
（6）证明 $\displaystyle \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T)=\mathbb{R}[x]_{3}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确线性变换的定义和基
线性变换 $T: \mathbb{R}[x]_3 \to \mathbb{R}[x]_3$ 定义为 $T f(x) = x f'(x) - f(x)$。基为 $\{1, x, x^2\}$。
公式：T f(x) = x f'(x) - f(x)
提示：注意 $\mathbb{R}[x]_3$ 是次数不超过2的多项式空间，基通常取 $1, x, x^2$。
步骤 2/7
目标：计算基向量在T下的像
分别计算 $T(1), T(x), T(x^2)$：
- $T(1) = x \cdot 0 - 1 = -1$；
- $T(x) = x \cdot 1 - x = 0$；
- $T(x^2) = x \cdot 2x - x^2 = 2x^2 - x^2 = x^2$。
提示：求导时注意 $f'(x)$ 的计算，$1$ 的导数为0，$x$ 的导数为1，$x^2$ 的导数为 $2x$。
步骤 3/7
目标：写出像在基下的坐标
将像用基 $1, x, x^2$ 表示：
- $T(1) = -1 = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2$，坐标向量 $(-1,0,0)^T$；
- $T(x) = 0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2$，坐标向量 $(0,0,0)^T$；
- $T(x^2) = x^2 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 1 \cdot x^2$，坐标向量 $(0,0,1)^T$。
提示：坐标向量按基的顺序排列，注意 $T(x)=0$ 的坐标是全零向量。
步骤 4/7
目标：构造变换矩阵
以像的坐标为列向量，得到 $T$ 在基 $1, x, x^2$ 下的矩阵：
$$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：A = ( [T(1)]_B, [T(x)]_B, [T(x^2)]_B )
提示：矩阵的列对应基向量的像的坐标，顺序不能颠倒。
步骤 5/7
目标：求核空间 Ker(T)
解方程 $Tf=0$，即 $x f'(x) - f(x) = 0$。设 $f(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2$，则 $f'(x)=a_1 + 2a_2 x$，代入得 $x(a_1+2a_2 x) - (a_0+a_1 x+a_2 x^2) = a_1 x + 2a_2 x^2 - a_0 - a_1 x - a_2 x^2 = -a_0 + a_2 x^2 = 0$。所以 $a_0=0, a_2=0$，$a_1$ 任意。故 $\operatorname{Ker}(T) = \{ a_1 x \mid a_1 \in \mathbb{R} \} = \operatorname{span}\{x\}$，维数为1。
公式：x f'(x) - f(x) = 0
提示：注意常数项和二次项系数必须为零，一次项系数自由。
步骤 6/7
目标：求像空间 Im(T)
由矩阵 $A$ 知，像空间由 $T(1)=-1$ 和 $T(x^2)=x^2$ 张成，即 $\operatorname{Im}(T) = \operatorname{span}\{-1, x^2\} = \operatorname{span}\{1, x^2\}$，维数为2。
提示：注意 $T(x)=0$ 不贡献新的向量；$\operatorname{span}\{-1, x^2\}$ 与 $\operatorname{span}\{1, x^2\}$ 相同。
步骤 7/7
目标：验证直和条件
首先，$\operatorname{Ker}(T) \cap \operatorname{Im}(T) = \{0\}$，因为 $\operatorname{Ker}(T)$ 中的非零元形如 $cx$，而 $\operatorname{Im}(T)$ 中的元素是 $1$ 和 $x^2$ 的线性组合，$x$ 不能表示为 $1$ 和 $x^2$ 的线性组合。其次，维数之和 $\dim\operatorname{Ker}(T) + \dim\operatorname{Im}(T) = 1+2=3 = \dim \mathbb{R}[x]_3$。因此直和成立：$\operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T) = \mathbb{R}[x]_3$。
公式：\dim(U \oplus V) = \dim U + \dim V
提示：直和需要满足交为零且维数之和等于全空间维数。
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