哈尔滨工程大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
四、已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设线性组合为零
设存在数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$。
提示：注意线性无关的定义：若组合为零则系数全为零。
步骤 2/6
目标：代入β的表达式
将 $\beta_1 = \alpha_1$, $\beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2$, $\beta_3 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$ 代入上式，得：
$$k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1+\alpha_2) + k_3(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3) = 0$$
提示：代入时注意括号，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：合并同类项
整理合并 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的系数：
$$(k_1 + k_2 + k_3)\alpha_1 + (k_2 + k_3)\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$$
提示：合并系数时不要遗漏任何项。
步骤 4/6
目标：利用线性无关性
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，所以它们的系数全为零：
\begin{cases}
k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\
k_2 + k_3 = 0 \\
k_3 = 0
\end{cases}
公式：若向量组线性无关，则线性组合为零当且仅当系数全为零。
提示：线性无关的定义是核心，注意系数必须全部为零。
步骤 5/6
目标：解方程组
由 $k_3 = 0$ 代入第二个方程得 $k_2 = 0$，再代入第一个方程得 $k_1 = 0$。
提示：解方程组时从最后一个方程开始代入，避免混乱。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$，根据线性无关的定义，$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。
提示：结论要明确：只有零解，所以向量组线性无关。
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