哈尔滨工程大学 2018年高等代数第4题
📝 题目
4．$\displaystyle P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 为3阶可逆矩阵，$\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 2\end{array}\right), Q=\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle Q^{-1} A Q=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 为3阶可逆矩阵，且 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$，即 $A$ 以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为特征向量，对应特征值分别为 $1,1,2$。
公式：P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,1,2)
提示：注意对角矩阵的对角元顺序与特征向量顺序一致。
步骤 2/6
目标：确定新基
设 $Q=(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_3,\alpha_2)$，即新基为 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_2$。由于 $P$ 可逆，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，易验证 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 也线性无关，故 $Q$ 可逆。
提示：验证新基线性无关：可由 $P$ 的列线性表示且秩为3。
步骤 3/6
目标：计算 $A\beta_1$
计算 $A\beta_1 = A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = 1\cdot\alpha_1 + 1\cdot\alpha_2 = \alpha_1+\alpha_2 = \beta_1$。因此 $A\beta_1 = 1\cdot\beta_1 + 0\cdot\beta_2 + 0\cdot\beta_3$。
公式：A\alpha_i = \lambda_i \alpha_i
提示：注意特征值对应：$\alpha_1,\alpha_2$ 特征值为1，$\alpha_3$ 特征值为2。
步骤 4/6
目标：计算 $A\beta_2$
计算 $A\beta_2 = A\alpha_3 = 2\alpha_3 = 2\beta_2$。因此 $A\beta_2 = 0\cdot\beta_1 + 2\cdot\beta_2 + 0\cdot\beta_3$。
提示：注意 $\beta_2 = \alpha_3$，直接利用特征值。
步骤 5/6
目标：计算 $A\beta_3$
计算 $A\beta_3 = A\alpha_2 = 1\cdot\alpha_2 = \beta_3$。因此 $A\beta_3 = 0\cdot\beta_1 + 0\cdot\beta_2 + 1\cdot\beta_3$。
提示：注意 $\beta_3 = \alpha_2$，特征值为1。
步骤 6/6
目标：写出 $Q^{-1}AQ$
由 $A\beta_1, A\beta_2, A\beta_3$ 在基 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 下的坐标，得 $Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
公式：Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}
提示：矩阵的第 $j$ 列是 $A\beta_j$ 在基 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 下的坐标。
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