哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
2．$\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=3,\left|\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right|=2$ ，则 $\left|\begin{array}{ccccc}0 & 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ b_{11} & b_{12} & 0 & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & 0 & 0 & 0\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别矩阵结构
设 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$，已知 $\det(A)=3$，$\det(B)=2$。所求行列式为 $\det\begin{pmatrix} 0_{2\times2} & A_{2\times3} \\ B_{3\times2} & 0_{3\times3} \end{pmatrix}$，其中 $0$ 表示零矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度：左上角是 $2\times2$ 零块，右上角是 $2\times3$ 的 $A$，左下角是 $3\times2$ 的 $B$，右下角是 $3\times3$ 零块。
步骤 2/4
目标：应用分块行列式公式
对于形如 $\begin{pmatrix} 0_{m\times m} & A_{m\times n} \\ B_{n\times m} & 0_{n\times n} \end{pmatrix}$ 的矩阵，其行列式为 $(-1)^{mn} \det(A) \det(B)$。这里 $m=2$，$n=3$，所以 $mn=6$，$(-1)^6=1$。
公式：$\det\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix} = (-1)^{mn} \det(A) \det(B)$
提示：注意公式中 $m$ 和 $n$ 分别是左上角零块的行数和列数，也是 $A$ 的行数和 $B$ 的列数。
步骤 3/4
目标：代入已知行列式值
将 $\det(A)=3$ 和 $\det(B)=2$ 代入公式，得到 $\det = (-1)^6 \times 3 \times 2 = 1 \times 6 = 6$。
提示：计算 $(-1)^6$ 时注意指数为偶数，结果为 $1$。
步骤 4/4
目标：验证结果（可选）
也可通过行交换和列交换验证：将第4、5行依次与第1、2行交换（两次交换，符号不变），再将第4、5列依次与第1、2列交换（两次交换，符号不变），得到准对角矩阵 $\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$，其行列式为 $\det(B)\det(A)=6$。
提示：每次交换行或列，行列式变号一次，偶数次交换不变号。
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