哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
3．$A P=P B, B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), P=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{2019}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用相似关系转化矩阵幂
由 $AP = PB$ 可得 $A = PBP^{-1}$，因此 $A^{2019} = P B^{2019} P^{-1}$。
公式：A = PBP^{-1} \Rightarrow A^n = P B^n P^{-1}
提示：注意矩阵乘法顺序，$A = PBP^{-1}$ 而不是 $P^{-1}BP$。
步骤 2/7
目标：计算 $P^{-1}$
对 $(P \mid I)$ 进行初等行变换：
$$
(P \mid I) = \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
第一行乘以 $-2$ 加到第二行和第三行：
$$
\to \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
第二行乘以 $-1$：
$$
\to \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
第二行乘以 $-1$ 加到第三行：
$$
\to \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
所以 $P^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -4 & 1 & 1\end{array}\right)$。
提示：求逆矩阵时，注意初等行变换的步骤，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：计算 $B^{2019}$
$B$ 是对角矩阵，$B = \operatorname{diag}(1, 0, -1)$，因此 $B^{2019} = \operatorname{diag}(1^{2019}, 0^{2019}, (-1)^{2019}) = \operatorname{diag}(1, 0, -1) = B$。
公式：\operatorname{diag}(d_1, d_2, d_3)^n = \operatorname{diag}(d_1^n, d_2^n, d_3^n)
提示：注意 $0^{2019}=0$，$(-1)^{2019}=-1$。
步骤 4/7
目标：简化 $A^{2019}$
由 $A^{2019} = P B^{2019} P^{-1} = P B P^{-1} = A$，所以只需计算 $A$。
提示：利用 $B^{2019}=B$ 简化计算。
步骤 5/7
目标：计算 $PB$
$$P B = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1\end{array}\right)$$
提示：矩阵乘法时，注意对应行与列相乘。
步骤 6/7
目标：计算 $A = (PB)P^{-1}$
$$A = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -4 & 1 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2+4 & 0-1 & 0-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 6 & -1 & -1\end{array}\right)$$
提示：计算第三行时，注意元素对应：$(2,0,-1)$ 乘以 $P^{-1}$ 的列。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此 $A^{2019} = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 6 & -1 & -1\end{array}\right)$。
提示：检查结果是否满足 $A^{2019}=A$。
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