哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
4．在 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 1 & 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & 1\end{array}\right), \alpha_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)$ 的秩为
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵拉直为列向量
将每个 $2\times 2$ 矩阵按行展开成4维列向量：
$\alpha_1 \rightarrow (-3, 1, 1, 1)^T$，
$\alpha_2 \rightarrow (1, -3, 1, 1)^T$，
$\alpha_3 \rightarrow (1, 1, -3, 1)^T$，
$\alpha_4 \rightarrow (1, 1, 1, -3)^T$。
提示：注意拉直顺序要一致，通常按行优先或列优先，这里采用行优先。
步骤 2/7
目标：构造矩阵并求秩
以这些列向量为列构造矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.$$
矩阵的秩等于向量组的秩。
提示：矩阵的列数等于向量个数，行数等于向量维数。
步骤 3/7
目标：初等行变换（第一步）
将第2、3、4行分别加上第1行：
$$A \xrightarrow{R_2+R_1, R_3+R_1, R_4+R_1} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}.$$
提示：注意行变换不改变矩阵的秩。
步骤 4/7
目标：提取公因子并化简
将第2、3、4行分别乘以 $\frac{1}{2}$：
$$\rightarrow \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$
提示：提取公因子时注意不要改变行之间的比例关系。
步骤 5/7
目标：继续行变换（化为行阶梯形）
将第1行乘以 $-1$ 得 $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$，然后交换第1行与第2行，再将新的第1行乘以 $-1$ 得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 3 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$
接着，第2行减去第1行的3倍，第3行加上第1行，第4行加上第1行：
$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -4 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$$
提示：行交换时注意符号变化。
步骤 6/7
目标：化为简化行阶梯形
将第2行乘以 $-\frac{1}{4}$：
$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$$
第3行减去第2行的2倍，第4行减去第2行的2倍：
$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$
第4行加上第3行：
$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
最后第3行乘以 $-1$：
$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意分数运算的准确性。
步骤 7/7
目标：确定秩
行阶梯形有3个非零行，所以矩阵的秩为3。因此，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩为3。
提示：秩等于非零行的个数，注意不要漏掉全零行。
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