哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
七、（15 分）$\displaystyle V=L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)\right), f_{1}(x)=e^{x} \sin x, f_{2}(x)=e^{x} \cos x$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=x e^{x} \sin x, f_{4}(x)=x e^{x} \cos x, \mathcal{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$.
（1）证明： $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 在基 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)$ 下的矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证线性变换定义
对任意 $f(x), g(x) \in V$ 及任意数 $k$，有 $\mathcal{D}(f(x)+g(x)) = (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x) = \mathcal{D}(f(x)) + \mathcal{D}(g(x))$，以及 $\mathcal{D}(k f(x)) = (k f(x))' = k f'(x) = k \mathcal{D}(f(x))$。因此 $\mathcal{D}$ 是 $V$ 上的线性变换。
公式：$(f+g)' = f'+g'$, $(kf)' = kf'$
提示：注意线性变换需要同时满足加法和数乘封闭性。
步骤 2/6
目标：计算 $f_1'(x)$
对 $f_1(x)=e^x \sin x$ 求导：$f_1'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = f_1(x) + f_2(x)$。
公式：$(e^x \sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x$
提示：注意乘积法则：$(uv)'=u'v+uv'$。
步骤 3/6
目标：计算 $f_2'(x)$
对 $f_2(x)=e^x \cos x$ 求导：$f_2'(x) = e^x \cos x - e^x \sin x = -f_1(x) + f_2(x)$。
公式：$(e^x \cos x)' = e^x \cos x - e^x \sin x$
提示：注意符号：$\cos x$ 的导数为 $-\sin x$。
步骤 4/6
目标：计算 $f_3'(x)$
对 $f_3(x)=x e^x \sin x$ 求导：$f_3'(x) = e^x \sin x + x e^x \sin x + x e^x \cos x = f_1(x) + f_3(x) + f_4(x)$。
公式：$(x e^x \sin x)' = e^x \sin x + x e^x \sin x + x e^x \cos x$
提示：使用乘积法则，注意三项乘积的导数。
步骤 5/6
目标：计算 $f_4'(x)$
对 $f_4(x)=x e^x \cos x$ 求导：$f_4'(x) = e^x \cos x + x e^x \cos x - x e^x \sin x = f_2(x) - f_3(x) + f_4(x)$。
公式：$(x e^x \cos x)' = e^x \cos x + x e^x \cos x - x e^x \sin x$
提示：注意 $\cos x$ 的导数为 $-\sin x$，导致负号。
步骤 6/6
目标：构造变换矩阵
将每个基向量的像用基向量线性表示，系数构成矩阵的列。由 $\mathcal{D}(f_1)=f_1+f_2$，$\mathcal{D}(f_2)=-f_1+f_2$，$\mathcal{D}(f_3)=f_1+f_3+f_4$，$\mathcal{D}(f_4)=f_2-f_3+f_4$，得矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的列对应基向量的像的坐标，顺序与基的顺序一致。
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