哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
三、设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{T} A\right)=r(A)$ 。（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立方程组关系
考虑齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 和 $A^T A\mathbf{x}=\mathbf{0}$。首先证明若 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，则 $A^T A\mathbf{x}=\mathbf{0}$。因为 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，左乘 $A^T$ 得 $A^T A\mathbf{x}=A^T\mathbf{0}=\mathbf{0}$，所以 $\operatorname{Null}(A)\subseteq\operatorname{Null}(A^T A)$。
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘 $A^T$ 是合法的。
步骤 2/5
目标：证明反向包含关系
反之，若 $A^T A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，则左乘 $\mathbf{x}^T$ 得 $\mathbf{x}^T(A^T A\mathbf{x})=\mathbf{0}$，即 $(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{x})=\|A\mathbf{x}\|^2=0$。由于 $A\mathbf{x}$ 是实向量，其范数为零当且仅当 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，故 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$。因此 $\operatorname{Null}(A^T A)\subseteq\operatorname{Null}(A)$。
公式：$\|A\mathbf{x}\|^2 = (A\mathbf{x})^T(A\mathbf{x})$
提示：实向量的范数为零等价于向量本身为零向量，这是实数域上的性质。
步骤 3/5
目标：得出零空间相等
由前两步，$\operatorname{Null}(A)\subseteq\operatorname{Null}(A^T A)$ 且 $\operatorname{Null}(A^T A)\subseteq\operatorname{Null}(A)$，所以 $\operatorname{Null}(A)=\operatorname{Null}(A^T A)$。从而零空间维数相等：$\dim\operatorname{Null}(A)=\dim\operatorname{Null}(A^T A)$。
提示：集合相等需双向包含。
步骤 4/5
目标：应用秩-零化度定理
对于 $m\times n$ 矩阵 $A$，秩-零化度定理给出 $r(A)=n-\dim\operatorname{Null}(A)$。同样，$A^T A$ 是 $n\times n$ 矩阵，有 $r(A^T A)=n-\dim\operatorname{Null}(A^T A)$。
公式：$r(A)=n-\dim\operatorname{Null}(A)$
提示：注意 $A^T A$ 是 $n\times n$ 方阵，零空间维数定义在 $\mathbb{R}^n$ 中。
步骤 5/5
目标：推导秩相等
由于 $\dim\operatorname{Null}(A)=\dim\operatorname{Null}(A^T A)$，代入秩-零化度公式得 $r(A)=n-\dim\operatorname{Null}(A)=n-\dim\operatorname{Null}(A^T A)=r(A^T A)$。因此 $r(A^T A)=r(A)$。
提示：确保 $n$ 是矩阵的列数，对于 $A$ 和 $A^T A$ 相同。
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