哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
九、（15 分）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A+B=E, A B=O, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ ， $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid B x=0\right\}$.
（1）求证：$\displaystyle B A=O$ ；
（2）求证：秩 $\displaystyle (B)=n-$ 秩 $\displaystyle (A)$ ；
（3）求证：$\displaystyle R(A)=\operatorname{Ker}(B)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：由已知条件推导B是幂等矩阵
由 $A+B=E$ 得 $A=E-B$，代入 $AB=O$ 得 $(E-B)B=O$，即 $B-B^2=O$，所以 $B^2=B$。
公式：$B^2=B$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但此处代入后可直接化简。
步骤 2/8
目标：证明BA=O
由 $B^2=B$ 和 $A=E-B$，得 $BA = B(E-B) = B - B^2 = O$。
公式：$BA = O$
提示：利用第一步得到的幂等性，注意矩阵乘法顺序。
步骤 3/8
目标：分析线性变换的关系
考虑线性变换 $T_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，$T_B: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，则 $T_A + T_B = I$，$T_A T_B = T_B T_A = 0$。对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x = Ax + Bx$，且 $Ax \in \operatorname{Im} A$，$Bx \in \operatorname{Im} B$。
公式：$x = Ax + Bx$
提示：注意将矩阵视为线性变换，利用恒等变换分解。
步骤 4/8
目标：证明像空间直和分解
证明 $\operatorname{Im} A \cap \operatorname{Im} B = \{0\}$：若 $y \in \operatorname{Im} A \cap \operatorname{Im} B$，则存在 $u,v$ 使 $y=Au=Bv$，则 $y = A(Bv)=0$。因此 $\mathbb{R}^n = \operatorname{Im} A \oplus \operatorname{Im} B$。
公式：$\mathbb{R}^n = \operatorname{Im} A \oplus \operatorname{Im} B$
提示：注意利用 $AB=O$ 和 $BA=O$ 证明交为零。
步骤 5/8
目标：推导秩的关系
由直和分解得 $\dim \operatorname{Im} A + \dim \operatorname{Im} B = n$，即 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) = n$，故 $\operatorname{rank}(B) = n - \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\operatorname{rank}(B) = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：注意秩定义为像空间的维数。
步骤 6/8
目标：证明R(A)包含于Ker(B)
对任意 $y \in R(A)$，存在 $x$ 使 $y=Ax$，则 $By = BAx = 0$，所以 $y \in \operatorname{Ker}(B)$。
公式：$BA=O$
提示：直接利用已证的 $BA=O$。
步骤 7/8
目标：证明Ker(B)包含于R(A)
对任意 $z \in \operatorname{Ker}(B)$，有 $Bz=0$，由 $A+B=E$ 得 $z = Az + Bz = Az$，所以 $z \in R(A)$。
公式：$z = Az$
提示：注意利用 $A+B=E$ 将 $z$ 表示为 $Az$。
步骤 8/8
目标：得出R(A)=Ker(B)
由两步包含关系得 $R(A) = \operatorname{Ker}(B)$。
提示：注意集合相等需证明双向包含。
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