哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）判断题（正确的给出证明，错误的举出反例）
（1）方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=0$ ，则 $\displaystyle A=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解命题
命题：若方阵 $A$ 满足 $A^2 = 0$，则 $A = 0$。需要判断其真假。
提示：注意命题是“若...则...”形式，判断真假需考虑是否对所有方阵成立。
步骤 2/4
目标：尝试构造反例
考虑 $2 \times 2$ 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。计算 $A^2$：$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$。
公式：矩阵乘法规则
提示：矩阵乘法时注意行乘列，不要算错。
步骤 3/4
目标：验证反例
显然 $A \neq 0$，因为 $A$ 的右上角元素为1。因此存在非零矩阵 $A$ 满足 $A^2 = 0$，命题错误。
提示：反例只需一个，注意非零矩阵的定义。
步骤 4/4
目标：总结结论
命题不成立。反例：$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 满足 $A^2 = 0$ 但 $A \neq 0$。
提示：此类命题常见错误是认为平方为零则矩阵为零，忽略了幂零矩阵的存在。
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