哈尔滨工程大学 2019年高等代数第0题
📝 题目
八、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关，$\displaystyle A \alpha_{i}=\alpha_{i}(i=1,2,3)$ ， $\displaystyle A \beta_{j}=2 \beta_{j}(j=1,2)$ ．证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定线性组合为零
设存在数 $k_1, k_2, k_3, l_1, l_2$ 使得
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + l_1\beta_1 + l_2\beta_2 = 0.$$
提示：注意系数要全部设出，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：左乘矩阵A
将上式两边左乘矩阵 $A$，利用条件 $A\alpha_i = \alpha_i$ 和 $A\beta_j = 2\beta_j$，得到
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + 2l_1\beta_1 + 2l_2\beta_2 = 0.$$
公式：$A\alpha_i = \alpha_i$, $A\beta_j = 2\beta_j$
提示：注意 $A$ 作用在 $eta_j$ 上时系数变为2倍。
步骤 3/7
目标：两式相减消去α部分
将第二步得到的等式减去第一步的等式，得
$$(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + 2l_1\beta_1 + 2l_2\beta_2) - (k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + l_1\beta_1 + l_2\beta_2) = 0,$$
化简得
$$l_1\beta_1 + l_2\beta_2 = 0.$$
提示：相减时注意系数对应，不要出错。
步骤 4/7
目标：利用β的线性无关性
由于 $\beta_1, \beta_2$ 线性无关，由 $l_1\beta_1 + l_2\beta_2 = 0$ 可得 $l_1 = l_2 = 0$。
公式：线性无关的定义：若 $c_1\beta_1 + c_2\beta_2 = 0$，则 $c_1 = c_2 = 0$。
提示：线性无关是重要条件，不能直接说系数为零。
步骤 5/7
目标：代入原式得α的线性组合
将 $l_1 = l_2 = 0$ 代入第一步的等式，得
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0.$$
提示：代入后只剩α部分。
步骤 6/7
目标：利用α的线性无关性
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，由 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$ 可得 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。
公式：线性无关的定义。
提示：注意α的个数是3个，但无关性条件类似。
步骤 7/7
目标：得出结论
所有系数均为零，因此 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2$ 线性无关。
提示：线性无关的定义：组合为零推出所有系数为零。
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